(ITA-SP) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não vazios, tais que n(P(A) cup P(B))+1=n(P(A cup B)). Então, a diferença n(A)-n(B) pode assumir
a) um único valor.
d) apenas quatro valores distintos.
b) apenas dois valores distintos.
e) mais do que quatro valores distintos.
c) apenas três valores distintos.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são conjuntos disjuntos, finitos e não vazios. Sejam
m = n(A), n = n(B)
Como Acap B=emptyset, temos
P(A)cap P(B)=emptyset
Logo
nl(P(A)cup P(B)r) = nl(P(A)r)+nl(P(B)r)-1 =2^m+2^n-1,
e
nl(P(Acup B)r)=2^m+n
O enunciado impõe
nl(P(A)cup P(B)r)+1 =nl(P(Acup B)r)

Passo 2

Substituindo as expressões de cardinalidade, obtemos
(2^m + 2^n - 1) + 1 = 2^m+n,
isto é,
2^m + 2^n = 2^m+n

Passo 3

Para resolver
2^m + 2^n = 2^m+n,
sem perda de generalidade suponha m<= n. Escreva n = m+k com k>=0. Então
2^m + 2^m+k = 2^m+(m+k) ;Longrightarrow;2^ml(1+2^kr)=2^2m+k ;Longrightarrow;1+2^k=2^m+k
Isso significa
2^k,(2^m-1)=1
Como 2^k e 2^m-1 são inteiros positivos, a única forma de o produto dar 1 é
2^k=1e2^m-1=1,
portanto k=0 e 2^m=2, isto é, m=1. Logo n=m+k=1.

Passo 4

Concluímos que a única solução é
n(A)=m=1, n(B)=n=1
Então
n(A)-n(B)=1-1=0
Não há outra possibilidade de diferença.

Resposta

a) um único valor.

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