(PUC-RJ) O valor de raiz1,7777 ldotsraiz0,1111 ldots é

Passo 1

O enunciado pede para calcular
raiz1,7777ldotsraiz0,1111ldots
É conteúdo de representação de décimais periódicos como frações e propriedades de radicais, em especial raiztfracab=tfracraiz araiz b.

Passo 2

Vamos escrever cada decimal periódico como fração. Seja
x = 07=0,7777ldots
Multiplicando x por 10 e subtraindo, encontra-se x=tfrac79. Logo
1,7777ldots = 1 + 07 = 1 + 79 = 169
De forma análoga,
0,1111ldots = 01 = 19

Passo 3

Agora aplicamos a raiz em cada fração:
raiz1,7777ldots = raiz169 = 43, raiz0,1111ldots = raiz19 = 13

Passo 4

Por fim, fazemos o quociente das raízes:
4313 = 43times31 =4

Resposta

4

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