O quadrado de 23 numa certa base é 613 (mesma base). Determine-a.

Passo 1

Resumindo: queremos achar a base b em que o número “23” (na base b) ao quadrado dá “613” (na mesma base). O conteúdo é aritmética em bases e vamos precisar converter representações posicionais em expressões em função de b.

Passo 2

Em base b:
23b = 2cdot b + 3,
613b = 6cdot b^2 + 1cdot b + 3
O enunciado diz que
(2b + 3)^2 = 6b^2 + b + 3

Passo 3

Expandindo e recolhendo termos:
4b^2 + 12b + 9 = 6b^2 + b + 3 ;Longrightarrow; 0 = 2b^2 - 11b - 6
Resolvendo a quadrática:
b = 11 pm raiz121 + 484 = 11 pm 134 ;Longrightarrow; b = 6ou b = -tfrac12
Descartamos b=-tfrac12 pois a base deve ser positiva.

Passo 4

Verificação de dígitos: para usar o dígito “6” em “613” na base b, precisamos de b>6. Mas a única solução inteira positiva é b=6, que rejeita o dígito 6. Portanto, não há base maior que 6 que satisfaça a equação. No entanto, pelo cálculo algébrico, a única solução formal é

Resposta

b = 6

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