Quantas diagonais, não das faces, tem:
um cubo?
um cubo?
Passo 1
O enunciado quer saber quantas diagonais internas (aquelas que não pertencem a nenhuma face) tem um cubo. Para resolver isso vamos usar princípios de contagem em geometria e combinatória de vértices de um poliedro.
Passo 2
Primeiro contamos todos os segmentos que ligam pares de vértices do cubo. Como o cubo tem 8 vértices, o número total de segmentos é
.
Passo 3
Destes 28 segmentos, alguns são arestas e outros são diagonais de face. O cubo tem 12 arestas, e cada uma das 6 faces é um quadrado com 2 diagonais, totalizando
diagonais de face. Juntos, arestas e diagonais de face somam
segmentos.
Passo 4
Portanto as diagonais internas (isto é, as diagonais que não estão em nenhuma face) são os segmentos restantes:
Passo 5
Método alternativo para conferir: cada diagonal interna liga dois vértices opostos do cubo. Como há 8 vértices e cada diagonal “usa” 2 vértices, o número de diagonais internas é
, confirmando o resultado anterior.
Resposta
O cubo tem 4 diagonais que não pertencem às faces.