Quantas diagonais, não das faces, tem:
um cubo?

Passo 1

O enunciado quer saber quantas diagonais internas (aquelas que não pertencem a nenhuma face) tem um cubo. Para resolver isso vamos usar princípios de contagem em geometria e combinatória de vértices de um poliedro.

Passo 2

Primeiro contamos todos os segmentos que ligam pares de vértices do cubo. Como o cubo tem 8 vértices, o número total de segmentos é
binom82=28.

Passo 3

Destes 28 segmentos, alguns são arestas e outros são diagonais de face. O cubo tem 12 arestas, e cada uma das 6 faces é um quadrado com 2 diagonais, totalizando 6times2=12 diagonais de face. Juntos, arestas e diagonais de face somam 12+12=24 segmentos.

Passo 4

Portanto as diagonais internas (isto é, as diagonais que não estão em nenhuma face) são os segmentos restantes:
28 - 24 = 4

Passo 5

Método alternativo para conferir: cada diagonal interna liga dois vértices opostos do cubo. Como há 8 vértices e cada diagonal “usa” 2 vértices, o número de diagonais internas é 8/2=4, confirmando o resultado anterior.

Resposta

O cubo tem 4 diagonais que não pertencem às faces.

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