No sistema decimal, quantos números de cinco algarismos (sem repetição) podemos escrever, de modo que os algarismos 0 (zero), 2 (dois) e 4 (quatro) apareçam agrupados?
Obervação: Considere somente números de 5 algarismos em que o primeiro algarismo é diferente de zero.

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de números de cinco algarismos, sem repetição, com primeiro dígito diferente de zero, de modo que os dígitos 0, 2 e 4 apareçam três vezes consecutivas (agrupados). Vamos usar técnica de blocos em contagem de arranjos, depois aplicar a restrição do primeiro dígito.

Passo 2

Trate o grupo 0,2,4 como um único bloco. Assim temos:
– Número de posições possíveis para o bloco em um número de 5 dígitos: 3 (começando em 1, 2 ou 3).
– Para cada posição do bloco, há 3! = 6 permutações internas entre 0, 2 e 4.
– Nos 2 dígitos restantes escolhemos 2 algarismos dentre os 7 disponíveis em 1,3,5,6,7,8,9:
binom72 = 21 escolhas, e eles podem ser dispostos em 2! = 2 ordens.
Logo, sem considerar ainda a restrição do primeiro dígito, o total é
Ntotal = 3 times 6 times 21 times 2 = 756

Passo 3

Agora excluímos os casos em que o primeiro dígito é zero. Isso só ocorre se:
  • O bloco estiver na posição inicial (posições 1 3) e
  • Na permutação interna do bloco o zero ficar em primeiro lugar.
    Número de permutações internas com zero na frente: 2!=2.
    A escolha e disposição dos outros 2 dígitos continua sendo 21times2=42.
    Logo, o total inválido é
Ninválidos ;=; 1times 2times 21times 2 ;=; 84 á

Passo 4

Subtraindo os inválidos do total:
Nválidos ;=; 756 - 84 ;=; 672 á

Resposta

672

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