No sistema decimal, quantos números de cinco algarismos (sem repetição) podemos escrever, de modo que os algarismos 0 (zero), 2 (dois) e 4 (quatro) apareçam agrupados?
Obervação: Considere somente números de 5 algarismos em que o primeiro algarismo é diferente de zero.
Passo 1
O enunciado pede a quantidade de números de cinco algarismos, sem repetição, com primeiro dígito diferente de zero, de modo que os dígitos
,
e
apareçam três vezes consecutivas (agrupados). Vamos usar técnica de blocos em contagem de arranjos, depois aplicar a restrição do primeiro dígito.
Passo 2
Trate o grupo
como um único bloco. Assim temos:
– Número de posições possíveis para o bloco em um número de dígitos:
(começando em
,
ou
).
– Para cada posição do bloco, há permutações internas entre
,
e
.
– Nos dígitos restantes escolhemos
algarismos dentre os
disponíveis em
:
– Número de posições possíveis para o bloco em um número de
– Para cada posição do bloco, há
– Nos
Logo, sem considerar ainda a restrição do primeiro dígito, o total é
Passo 3
Agora excluímos os casos em que o primeiro dígito é zero. Isso só ocorre se:
- O bloco estiver na posição inicial (posições
– ) e - Na permutação interna do bloco o zero ficar em primeiro lugar.
Número de permutações internas com zero na frente:.
A escolha e disposição dos outrosdígitos continua sendo .
Logo, o total inválido é
Passo 4
Subtraindo os inválidos do total: