No espaço existem n pontos, entre os quais não existem 4 coplanares, com exceção de 5 que estão num mesmo plano. Quantos planos os n pontos determinam?

Passo 1

O enunciado diz que temos n pontos no espaço, sem quatro coplanares, exceto cinco deles que estão todos num mesmo plano. O conteúdo aqui é contar quantos planos distintos são determinados por essas n pontos, usando combinatória e ajustando para a situação de coplanaridade de 5 pontos.

Passo 2

Se não existisse nenhuma condição de coplanaridade além de “não há 4 coplanares”, cada tripla de pontos definiria um plano distinto, totalizando
binomn3
planos.

Passo 3

Agora, como existem exatamente cinco pontos que estão todos num mesmo plano, todas as binom53=10 tríades formadas por esses cinco pontos acabam determinando o mesmo plano único, em vez de 10 planos diferentes.

Passo 4

Nas contas de binomn3 esses 10 planos iguais foram considerados como 10 distintos, mas na realidade são apenas 1. Então devemos subtrair o excesso de 10-1=9. Logo, o número de planos distintos é
binomn3 - 9

Resposta

binomn3 - 9

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