Quantas diagonais, não das faces, tem um prisma cuja base é um polígono de n lados?

Passo 1

O enunciado pede o número de diagonais “espaciais” de um prisma cuja base é um polígono de n lados, ou seja, as diagonais que não pertencem a nenhuma face. Para resolver, vamos precisar de dois ingredientes:
  1. A contagem total de diagonais em um conjunto de 2n vértices (o prisma tem n vértices na base e n na outra base).
  2. A contagem de todas as diagonais que ficam sobre as faces (diagonais de face), para subtrair do total e achar as diagonais internas.

Passo 2

Contagem do total de diagonais num grafo completo de 2n vértices, retirando as arestas (que não são diagonais):
O número de pares de vértices é
binom2n2 = 2n(2n-1)2 = n(2n-1)
Como o prisma tem 3n arestas ( n na base, n na outra base e n arestas laterais), o total de diagonais gerais é
Total de diagonais = n(2n-1) ;-; 3n = 2n^2 - n - 3n = 2n^2 - 4n = 2n(n-2)

Passo 3

Contagem das diagonais que ficam sobre faces:
  • Nas duas bases (polígonos de n lados), cada uma tem n(n-3)2 diagonais, totalizando
2 times n(n-3)2 = n(n-3)
  • Nas n faces laterais, cada face é um quadrilátero e tem exatamente 2 diagonais, totalizando 2n.
    Logo, o número de diagonais de face é
n(n-3) ;+; 2n ;=; n(n-1)

Passo 4

As diagonais que não estão em nenhuma face (diagonais espaciais) vêm do total de diagonais menos as diagonais de face:
Diagonais espaciais = 2n(n-2) ;-; n(n-1) = 2n^2 - 4n - (n^2 - n) = n^2 - 3n = n(n-3)

Resposta

boxedn(n-3)

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