Quantas diagonais, não das faces, tem um prisma cuja base é um polígono de
lados?
Passo 1
O enunciado pede o número de diagonais “espaciais” de um prisma cuja base é um polígono de
lados, ou seja, as diagonais que não pertencem a nenhuma face. Para resolver, vamos precisar de dois ingredientes:
- A contagem total de diagonais em um conjunto de
vértices (o prisma tem vértices na base e na outra base). - A contagem de todas as diagonais que ficam sobre as faces (diagonais de face), para subtrair do total e achar as diagonais internas.
Passo 2
Contagem do total de diagonais num grafo completo de
vértices, retirando as arestas (que não são diagonais):
O número de pares de vértices é
O número de pares de vértices é
Como o prisma tem
arestas (
na base,
na outra base e
arestas laterais), o total de diagonais gerais é
Passo 3
Contagem das diagonais que ficam sobre faces:
- Nas duas bases (polígonos de
lados), cada uma tem diagonais, totalizando
- Nas
faces laterais, cada face é um quadrilátero e tem exatamente 2 diagonais, totalizando .
Logo, o número de diagonais de face é
Passo 4
As diagonais que não estão em nenhuma face (diagonais espaciais) vêm do total de diagonais menos as diagonais de face: