Mostre que:
5!+7!neq 12 !

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
5! + 7! neq 12!
O conteúdo principal aqui é usar aritmética modular para explorar divisibilidade por um número que aparece em um fatorial maior mas não nos fatoriais menores. Vamos escolher o primo 11, já que 12! contém o fator 11 e nem 5! nem 7! o contêm.

Passo 2

Observamos que
12! = 1cdot2cdot3cdots10cdot11cdot12
logo 11 é um fator de 12!. Isso implica
12! equiv 0 pmod11

Passo 3

Agora calculamos 5! e 7! módulo 11. Primeiro,
5! = 120 = 11cdot10 + 10,
então
5! equiv 10 pmod11

Passo 4

Em seguida,
7! = 7 cdot 6 cdot 5! equiv 7 cdot 6 cdot 10 pmod11
Calculando
7cdot6cdot10 = 420,
e fazendo divisão por 11, 420 = 11cdot38 + 2, logo
7! equiv 2 pmod11

Passo 5

Somando os restos,
5! + 7! equiv 10 + 2 = 12 equiv 1 pmod11

Passo 6

Como concluímos
5! + 7! equiv 1 pmod11 e 12! equiv 0 pmod11,
não há como 5!+7! ser igual a 12!. Portanto,

Resposta

5! + 7! neq 12!

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