De quantas formas 20 alunos podem ser colocados em 4 classes, A, B, C, D, ficando 5 alunos por classe?

Passo 1

O enunciado pede para distribuir 20 alunos distintos em 4 turmas rotuladas A, B, C, D, de modo que cada turma tenha exatamente 5 alunos. O conteúdo aqui é contagem de agrupamentos com turmas distintas, que se resolve usando coeficientes binomiais e o princípio fundamental da contagem (ou seja, um coeficiente multinomial).

Passo 2

Primeiro escolhemos quais 5 alunos vão para a turma A. Pelo conceito de combinação, existem
binom205
maneiras de escolher esse grupo de 5 entre 20.

Passo 3

Feita a escolha da turma A, restam 15 alunos. Agora escolhemos 5 deles para a turma B, o que pode ser feito de
binom155
formas.

Passo 4

Depois de preencher A e B, sobram 10 alunos. Destes, escolhemos 5 para a turma C, de binom105 maneiras. Os 5 restantes vão automaticamente para a turma D, que corresponde a
binom55=1
maneira.

Passo 5

Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos todas essas escolhas. Assim o total de distribuições é
binom205,binom155,binom105,binom55 =20!5!,15!,15!5!,10!,10!5!,5!,5!5!,0! =20!(5!)^4

Resposta

20!(5!)^4

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