De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila, se:
a) os homens devem ficar juntos;
b) os homens devem ficar juntos e as mulheres também?
a) os homens devem ficar juntos;
b) os homens devem ficar juntos e as mulheres também?
Passo 1
Resumo do enunciado: temos
homens e
mulheres formando fila. No item (a) exige-se que os
homens fiquem juntos. No item (b) exige-se que os
homens fiquem juntos e, além disso, as
mulheres também fiquem juntas. O conteúdo aqui é contagem por permutações com blocos e princípio multiplicativo.
Passo 2
Para o item (a), tratamos os
homens como um único “superelemento” ou bloco. Dessa forma, somamos esse bloco às
mulheres individuais, totalizando
elementos a serem dispostos na fila. O número de maneiras de permutar esses
elementos é
Passo 3
Dentro do bloco dos
homens há
arranjos possíveis. Pelo princípio multiplicativo, o total de permutações para (a) é
Passo 4
Calculando os fatoriais:
e
. Logo,
Passo 5
Para o item (b), além de formarmos o bloco dos
homens, criamos também um bloco com as
mulheres. Agora temos apenas
blocos para permutar, o que gera
maneiras de dispor esses blocos.
Passo 6
Dentro do bloco masculino há
arranjos e dentro do bloco feminino há
arranjos. Aplicando o princípio multiplicativo, o total para (b) é
Passo 7
Calculando:
,
e
. Assim,
Resposta
a)
b)
b)