De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila, se:
a) os homens devem ficar juntos;
b) os homens devem ficar juntos e as mulheres também?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos ;4 homens e ;5 mulheres formando fila. No item (a) exige-se que os ;4 homens fiquem juntos. No item (b) exige-se que os ;4 homens fiquem juntos e, além disso, as ;5 mulheres também fiquem juntas. O conteúdo aqui é contagem por permutações com blocos e princípio multiplicativo.

Passo 2

Para o item (a), tratamos os ;4 homens como um único “superelemento” ou bloco. Dessa forma, somamos esse bloco às ;5 mulheres individuais, totalizando 1+5=6 elementos a serem dispostos na fila. O número de maneiras de permutar esses 6 elementos é
6!

Passo 3

Dentro do bloco dos ;4 homens há ;4! arranjos possíveis. Pelo princípio multiplicativo, o total de permutações para (a) é
6! times 4!

Passo 4

Calculando os fatoriais: 6! = 720 e 4! = 24. Logo,
6! times 4! = 720 times 24 = 17280

Passo 5

Para o item (b), além de formarmos o bloco dos ;4 homens, criamos também um bloco com as ;5 mulheres. Agora temos apenas 2 blocos para permutar, o que gera
2!
maneiras de dispor esses blocos.

Passo 6

Dentro do bloco masculino há 4! arranjos e dentro do bloco feminino há 5! arranjos. Aplicando o princípio multiplicativo, o total para (b) é
2! times 4! times 5!

Passo 7

Calculando: 2! = 2, 4! = 24 e 5! = 120. Assim,
2! times 4! times 5! = 2 times 24 times 120 = 5760

Resposta

a) 17280
b) 5760

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