Em um baile há r rapazes e m moças. Um rapaz dança com 5 moças, um segundo rapaz dança com 6 moças, e assim sucessivamente. 0 último rapaz dança com todas as moças. Qual é a relação entre m e r ?

Passo 1

O enunciado diz que há ,r rapazes e ,m moças. O primeiro rapaz dança com 5 moças, o segundo com 6, o terceiro com 7 e assim por diante, até que o último rapaz dança com todas as ,m moças. Para relacionar m e r precisamos reconhecer que o número de parceiras de cada rapaz forma uma progressão aritmética (PA).

Passo 2

Numa PA, cada termo é obtido a partir do anterior somando-se a razão d. Aqui os termos são
5,;6,;7,;dots,;m
portanto:
  • o primeiro termo é a1 = 5;
  • a razão é d = 1 (pois aumentamos de 1 em 1);
  • o número de termos é r;
  • o último termo ar deve ser m.

Passo 3

A fórmula do n-ésimo termo de uma PA é
an = a1 + (n-1),d
Substituindo n = r, a1 = 5 e d = 1, obtemos
ar = 5 + (r-1)cdot1 = 5 + r - 1 = r + 4
Como ar = m, segue que
m = r + 4

Resposta

m = r + 4

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