De quantas formas podemos preencher um cartão da loteria esportiva, com um único prognóstico duplo e todos os outros, simples?

Passo 1

O enunciado considera um cartão da loteria esportiva com 14 jogos, em que para cada jogo podemos marcar um prognóstico simples (escolher exatamente um dos três resultados possíveis: 1, X ou 2) ou um prognóstico duplo (escolher exatamente dois desses três resultados). Queremos contar de quantas formas preencher o cartão de modo que haja exatamente um prognóstico duplo e todos os demais sejam simples.

Passo 2

Primeiro escolhemos em qual dos 14 jogos faremos o prognóstico duplo. Isso pode ser feito de
14
maneiras.

Passo 3

Para o jogo escolhido como duplo, devemos selecionar 2 resultados dentre os 3 possíveis. O número de formas de escolher 2 itens de um conjunto de 3 é dado por
binom32 = 3

Passo 4

Para cada um dos outros 13 jogos, faremos um prognóstico simples, ou seja, escolheremos exatamente um dos 3 resultados. O número de maneiras de fazer isso em cada jogo é 3, e para 13 jogos independentes são
3^13
maneiras.

Passo 5

Pelo princípio multiplicativo, o total de preenchimentos com exatamente um duplo é
14 times binom32 times 3^13 = 14 times 3 times 3^13 = 14 times 3^14

Resposta

14 times 3^14 ;=; 14 times 4,782,969 ;=; 66,961,566

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