Quantas funções booleanas diferentes de 7 variáveis existem?

Passo 1

O enunciado pede para contar quantas funções booleanas existem em 7 variáveis. Uma função booleana é um mapeamento
f:\{0,1\}^7 \to \{0,1\}.
O conteúdo aqui é contar o número de funções possíveis entre dois conjuntos finitos, usando conceitos de combinatória e cardinalidade de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar quantos elementos tem o domínio \{0,1\}^7. Como cada uma das 7 variáveis pode assumir 2 valores 0 ou 1, o número de combinações distintas de entrada é
\bigl|\{0,1\}^7\bigr| = 2^7 = 128.

Passo 3

Para cada uma dessas 128 entradas, a função pode atribuir valor 0 ou 1. Logo, o número total de funções é igual ao número de maneiras de escolher, para cada um dos 128 elementos do domínio, um valor em \{0,1\}. Isso dá
2^{128}.

Resposta

2^{128}.

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