Há quantas maneiras possíveis de escolher uma dúzia de rosquinhas em uma cafeteria com 21 variedades de rosquinhas?

Passo 1

O enunciado pergunta de quantas formas podemos escolher uma dúzia de rosquinhas (ou seja, 12 unidades) entre 21 variedades, permitindo repetições. O conteúdo é combinação com repetição, ou seja, “barras e estrelas”, e precisamos usar a fórmula de número de soluções inteiras não negativas de
x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{21}=12.

Passo 2

Para modelar, definimos x_{i} como o número de rosquinhas da i-ésima variedade, com x_{i}\ge0 e
x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{21}=12.
O número de soluções não negativas desse tipo é dado pela combinação com repetição:
\binom{n+r-1}{r}
onde n=21 variedades e r=12 itens.

Passo 3

Aplicando a fórmula, obtemos
\binom{21+12-1}{12} \;=\;\binom{32}{12}.

Passo 4

Para calcular \binom{32}{12} usamos a definição
\binom{32}{12}=\frac{32!}{12!\,20!}
e encontrarmos
\binom{32}{12}=225\,792\,840.

Resposta

225\,792\,840 maneiras possíveis.

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