Quantas palavras de seis letras, começando a terminando por consoante, podem ser formadas com as letras da palavra FECHAR, cada letra figurando uma só vez’?
Solução:
Podemos analisar a montagem das palavras de acordo com o esquema abaixo:
1^{2} letra \underbrace{2a letra}{2^{2} letra} \underbrace{2}{4^{2} letra} \underbrace{0}_{5^{2} letra}
Como existem 4 consoantes, temos 4 possibilidades para escolher a 1^{\text {a }} letra e, para cada uma destas 4 possibilidades, temos 3 possibilidades para a escolha da 6^{\text {a }} letra. Da 2^{\text {a }} letra para a 5^{\text {a }} letra, basta permutar livremente as demais 4 letras ainda não usadas. Assim, pelo teorema de multiplicação, a quantidade de palavras é 4.3.4! = 288.

Passo 1

O enunciado pede para formar “palavras” de seis letras usando cada letra de FECHAR exatamente uma vez, de modo que a primeira e a sexta letra sejam consoantes. Aqui o conteúdo é contagem de permutações com restrição de posição, usando o princípio multiplicativo.

Passo 2

Primeiro escolhemos a 1^\text{a} letra (posição inicial). Como há 4 consoantes em \{\text{F},\text{C},\text{H},\text{R}\}, temos
4
possibilidades para a primeira letra.

Passo 3

Depois de eleger a 1^\text{a} letra, restam 5 letras no total, das quais 3 são consoantes. A 6^\text{a} letra (posição final) deve ser consoante, então há
3
possibilidades para a sexta letra.

Passo 4

Agora sobram exatamente 4 letras quaisquer (vogais ou consoantes) para preencher as posições 2 a 5. Essas 4 letras podem ficar em qualquer ordem nessas quatro posições, o que corresponde a
4!
permutations.

Passo 5

Pelo princípio multiplicativo, o total de palavras é o produto das escolhas em cada etapa:
4 \times 3 \times 4! = 4 \times 3 \times 24 = 288.

Resposta

288

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