Quantas peças diferentes podem ser formadas num jogo de dominó se usarmos os números 0,1,2,3, ldots, n ?

Passo 1

O enunciado pergunta quantas peças diferentes há num conjunto de dominó cujos valores das extremidades vão de 0 até n. Cada peça é determinada por um par de números em que a ordem não importa (por exemplo, (2,5) é a mesma peça que (5,2)). O conteúdo aqui é contagem de combinações com repetição.

Passo 2

Vamos modelar cada peça como um par (i,j) satisfazendo
0 <= i <= j <= n
Contar o número de peças equivale a contar quantos pares (i,j) assim existem.

Passo 3

Dividimos em dois casos para facilitar a contagem:
  1. Peças duplas ( i=j): há exatamente n+1 possibilidades, pois i pode ser cada valor de 0 a n.
  2. Peças com i<j: para cada i fixo de 0 a n, j pode variar de i+1 a n, ou seja, n-i escolhas. Assim
sumi=0^n(n-i) = sumk=1^nk = n(n+1)2

Passo 4

Somando os dois casos, o total de peças é
(n+1) ;+;n(n+1)2 = 2(n+1) + n(n+1)2 = (n+1)(n+2)2

Resposta

(n+1)(n+2)2

Exercícios de Livros Relacionados