- Mostrar que a soma dos
primeiros têrmos de uma progressäo aritmélica de ordem
é
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma “progressão aritmética de ordem
”, então a soma dos
primeiros termos
pode ser escrita na forma
onde definimos
Para isso vamos usar dois fatos: (1) uma progressão de ordem
é dada por um polinômio de grau
; (2) a soma de um polinômio avaliado em
de
até
se separa em somas de potências de
.
Passo 2
Por definição, dizer que
é de ordem
significa que as diferenças finitas de ordem
são constantes. Um resultado clássico de diferenças finitas garante que, nesse caso, existe um polinômio
tal que
Passo 3
Agora queremos
Como a soma é linear, agrupamos termo a termo:
Passo 4
Finalmente reconhecemos as somas de potências:
Portanto
como era para mostrar.