• Mostrar que a soma dos n primeiros têrmos de uma progressäo aritmélica de ordem k é
a Sk+b Sk-1+ldots+p S1+q n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se (Tn) é uma “progressão aritmética de ordem k”, então a soma dos n primeiros termos
sumj=1^n Tj
pode ser escrita na forma
a,Sk + b,Sk-1 + cdots + p,S1 + q,n,
onde definimos
Si = sumj=1^n j^i
Para isso vamos usar dois fatos: (1) uma progressão de ordem k é dada por um polinômio de grau k; (2) a soma de um polinômio avaliado em j de j=1 até n se separa em somas de potências de j.

Passo 2

Por definição, dizer que (Tn) é de ordem k significa que as diferenças finitas de ordem k são constantes. Um resultado clássico de diferenças finitas garante que, nesse caso, existe um polinômio
P(x) = a,x^k + b,x^k-1 + cdots + p,x + q
tal que
Tn = P(n) para todo n

Passo 3

Agora queremos
sumj=1^n Tj = sumj=1^n P(j) = sumj=1^n l(a,j^k + b,j^k-1 + cdots + p,j + qr)
Como a soma é linear, agrupamos termo a termo:
sumj=1^n P(j) = asumj=1^n j^k + bsumj=1^n j^k-1 + cdots + psumj=1^n j + qsumj=1^n 1

Passo 4

Finalmente reconhecemos as somas de potências:
sumj=1^n j^i = Si e sumj=1^n 1 = n
Portanto
sumj=1^n Tj = a,Sk + b,Sk-1 + cdots + p,S1 + q,n,
como era para mostrar.

Resposta

sumj=1^n Tj = a,Sk + b,Sk-1 + cdots + p,S1 + q,n

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