- Demonstrar a recíproca do teorema da continuidade uniforme, a saber: se
fôr uniformemente contínua no intervalo semi-aberto
, tenderá para um limite único, à medida que
(que pode ser adotado como o valor de
.
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove a recíproca do teorema da continuidade uniforme: ou seja, se
é uniformemente contínua em
, então o limite
existe (é único) e podemos definir
igual a esse limite para estender
continuamente em
. Vamos usar o critério de Cauchy em
e a definição de continuidade uniforme.
Passo 2
Relembrando definição:
é uniformemente contínua em
se, para todo
, existe
tal que, para quaisquer
,
Esse
não depende de
nem de
, apenas de
.
Passo 3
Mostramos que
satisfaz o critério de Cauchy quando
. Dado
, pela continuidade uniforme existe
tal que
para todo
. Agora, sempre que
, temos
e portanto
Isso mostra que, ao aproximar-se de
, os valores de
formam uma sequência (ou rede) de Cauchy em
.
Passo 4
Como
é completo, toda sequência de Cauchy converge a um limite único. Logo existe um único número
tal que
Para ver diretamente a unicidade: se houvesse outro limite
, tomaria
e obteríamos contradição ao aproximar
de
.
Resposta
Portanto, se
é uniformemente contínua em
, então
existe e é único. Podemos definir
para estender
de modo contínuo ao intervalo fechado
.