• Demonstrar a recíproca do teorema da continuidade uniforme, a saber: se f(x) fôr uniformemente contínua no intervalo semi-aberto a<x <=q b, tenderá para um limite único, à medida que x a (que pode ser adotado como o valor de f(a)).

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove a recíproca do teorema da continuidade uniforme: ou seja, se f é uniformemente contínua em (a,b], então o limite
limxto a^+f(x)
existe (é único) e podemos definir f(a) igual a esse limite para estender f continuamente em [a,b]. Vamos usar o critério de Cauchy em R e a definição de continuidade uniforme.

Passo 2

Relembrando definição: f é uniformemente contínua em (a,b] se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, para quaisquer x,yin(a,b],
|x-y|<de<a Longrightarrow |f(x)-f(y)|<varepsilon
Esse de<a não depende de x nem de y, apenas de varepsilon.

Passo 3

Mostramos que f(x) satisfaz o critério de Cauchy quando xto a^+. Dado varepsilon>0, pela continuidade uniforme existe de<a>0 tal que
|x-y|<de<a Longrightarrow |f(x)-f(y)|<varepsilon,
para todo x,yin(a,b]. Agora, sempre que x,yin(a,a+de<a), temos |x-y|<de<a e portanto
|f(x)-f(y)|<varepsilon
Isso mostra que, ao aproximar-se de a, os valores de f(x) formam uma sequência (ou rede) de Cauchy em R.

Passo 4

Como R é completo, toda sequência de Cauchy converge a um limite único. Logo existe um único número LinR tal que
limxto a^+f(x)=L
Para ver diretamente a unicidade: se houvesse outro limite L'neq L, tomaria varepsilon0=|L-L'|/2 e obteríamos contradição ao aproximar f(x) de a.

Resposta

Portanto, se f é uniformemente contínua em (a,b], então
limxto a^+f(x)
existe e é único. Podemos definir
f(a);=;limxto a^+f(x)
para estender f de modo contínuo ao intervalo fechado [a,b].

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