(UF-PI) A quantidade de números reais e positivos que satisfaz a equação modular |-2^2 x+2^x+1+1|=1 é:

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções em (0,infty) da equação
|-2^2x+2^x+1+1|=1
O conteúdo envolvido é resolução de equação modular e uso de substituição para funções exponenciais. Vamos usar a mudança de variável
t = 2^x,
que transforma 2^2x em t^2 e 2^x+1 em 2t.

Passo 2

Fazendo t = 2^x>0, a expressão dentro do valor absoluto fica
-2^2x+2^x+1+1 = -t^2 + 2t + 1
Portanto a equação original torna-se
l|-t^2 + 2t + 1r| = 1

Passo 3

Para resolver l|-t^2 + 2t + 1r| = 1 dividimos em dois casos:
Caso 1.
-t^2 + 2t + 1 = 1
Isso implica
-t^2 + 2t = 0 Longrightarrow t(-t + 2)=0 Longrightarrow t=0 ou t=2
Como t=2^x>0, descartamos t=0 e ficamos com t=2. Logo
2^x = 2 Longrightarrow x = 1,
que é uma solução válida em (0,infty).

Passo 4

Caso 2.
-t^2 + 2t + 1 = -1
Reescrevendo:
-t^2 + 2t + 2 = 0 Longrightarrow t^2 - 2t - 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
t = 2 pm raiz4 + 82 = 2 pm raiz122 = 1 pm raiz3
Entre essas raízes, 1-raiz3<0 e não serve (pois t>0). Restando
t = 1 + raiz3 > 0,
que gera
2^x = 1 + raiz3 Longrightarrow x = log2l(1 + raiz3r),
que também é positivo.

Passo 5

Encontramos exatamente duas soluções em (0,infty):
x = 1 e x = log2l(1 + raiz3r)

Resposta

2

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