De quantos modos seis casais podem sentar-se em torno de uma mesa circular:
a) nào sentando juntos dois homens?;
b) não sentando juntos dois homens, mas cada homem sentando ao lado de sua esposa?

Passo 1

O enunciado pede para sentar seis casais ( 12 pessoas) em torno de uma mesa circular. Vamos dividir em dois casos:
a) nenhuma dupla de homens pode ficar lado a lado;
b) além de não haver dois homens juntos, cada homem deve sentar-se ao lado de sua esposa.
Para resolver usamos contagem de permutações circulares, princípio de colocar um grupo primeiro e depois alocar o outro (“mulheres primeiro, homens nos espaços”) e, no caso (b), tratar cada casal como bloco com orientações possíveis.

Passo 2

Resolvendo a parte (a): não sentando juntos dois homens.
1. Colocamos as 6 mulheres ao redor da mesa. Como rotações são consideradas iguais, há
(6-1)! = 5! = 120
maneiras de dispor as mulheres.
2. Entre cada par de mulheres existe um “espaço” para sentar um homem, e, para evitar que homens fiquem adjacentes, colocamos exatamente um homem em cada um dos 6 espaços. Os 6 homens são distintos, logo
6! = 720
maneiras de alocá-los nesses espaços.
3. Pelo princípio multiplicativo,
\text{total (a)} = 5! \times 6! = 120 \times 720 = 86400.

Passo 3

Resolvendo a parte (b): não sentando juntos dois homens e cada homem ao lado de sua esposa.
1. Tratamos cada casal como um bloco de 2 lugares. Há
(6-1)! = 5! = 120
maneiras de dispor esses 6 blocos circularmente.
2. Dentro de cada bloco, o homem pode sentar-se à esquerda ou à direita da esposa ( 2 orientações). Mas para garantir que não hajam dois homens em blocos vizinhos, devemos evitar o padrão “homem virado para o vizinho e vizinho virado para ele”. Num ciclo, isso só é possível se todos os blocos usarem a mesma orientação. Assim, há exatamente
2
maneiras de escolher essa orientação global (tudo “homem à esquerda” ou tudo “homem à direita”).
3. Logo,
\text{total (b)} = 5! \times 2 = 120 \times 2 = 240.

Resposta

a) 86400
b) 240

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