Quantos números inteiros positivos entre 100 e 999 , incluindo este último,
são divisiveis por 3 , mas não por 4 ?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de inteiros n tais que 100 \le n \le 999, 3\mid n e 4\nmid n. Para resolver isso, vamos contar primeiro quantos são divisíveis por 3 nesse intervalo e depois subtrair os que também são divisíveis por 4 (isto é, divisíveis por \mathrm{lcm}(3,4)=12).

Passo 2

Contar múltiplos de 3 em [100,999]. O primeiro múltiplo de 3 maior ou igual a 100 é
\bigl\lceil \tfrac{100}{3}\bigr\rceil \times 3 = \lceil 33{,}33\rceil \times 3 = 34\times3 =102,
o último múltiplo de 3 menor ou igual a 999 é
\bigl\lfloor \tfrac{999}{3}\bigr\rfloor \times 3 = 333\times3 =999.
O número de termos dessa progressão aritmética com razão 3 é
\bigl\lfloor\tfrac{999}{3}\bigr\rfloor - \bigl\lfloor\tfrac{100-1}{3}\bigr\rfloor =333 - 33 =300.

Passo 3

Contar múltiplos de 12 em [100,999]. O primeiro múltiplo de 12 maior ou igual a 100 é
\bigl\lceil \tfrac{100}{12}\bigr\rceil \times 12 =9\times12 =108,
o último múltiplo de 12 menor ou igual a 999 é
\bigl\lfloor \tfrac{999}{12}\bigr\rfloor \times 12 =83\times12 =996.
O número de termos dessa progressão com razão 12 é
83 - 9 + 1 = 75.

Passo 4

Os números que queremos são os múltiplos de 3 menos aqueles múltiplos de 12. Logo,
300 - 75 = 225.

Resposta

225

Exercícios de Livros Relacionados