Quantos números inteiros positivos entre 100 e 999 , incluindo este último,
não são divisíveis por 3 nem por 4 ?

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos inteiros positivos entre 100 e 999 (inclusive) não são divisíveis nem por 3 nem por 4. O conteúdo aqui é o Princípio da Inclusão-Exclusão aplicado ao conjunto dos múltiplos de 3 e ao conjunto dos múltiplos de 4.

Passo 2

Vamos primeiro determinar a quantidade total de inteiros no intervalo [100,999]. Como é uma progressão aritmética de primeiro termo 100, último termo 999 e razão 1, o total é
999 - 100 + 1 = 900.

Passo 3

Agora, encontramos quantos são divisíveis por 3. O número de múltiplos de 3 em [100,999] é
\Bigl\lfloor \tfrac{999}{3}\Bigr\rfloor \;-\;\Bigl\lfloor \tfrac{100-1}{3}\Bigr\rfloor \;=\;333 - 33 \;=\;300.

Passo 4

Em seguida, quantos são divisíveis por 4. De forma análoga, o número de múltiplos de 4 em [100,999] é
\Bigl\lfloor \tfrac{999}{4}\Bigr\rfloor \;-\;\Bigl\lfloor \tfrac{100-1}{4}\Bigr\rfloor \;=\;249 - 24 \;=\;225.

Passo 5

Para aplicar inclusão-exclusão, precisamos também dos que são múltiplos de \mathrm{mcm}(3,4)=12. O total de múltiplos de 12 em [100,999] é
\Bigl\lfloor \tfrac{999}{12}\Bigr\rfloor \;-\;\Bigl\lfloor \tfrac{100-1}{12}\Bigr\rfloor \;=\;83 - 8 \;=\;75.

Passo 6

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o número de inteiros divisíveis por 3 ou por 4 em [100,999] é
300 + 225 - 75 = 450.

Passo 7

Finalmente, os que não são divisíveis por nenhum dos dois é o total menos os que são divisíveis por 3 ou 4:
900 - 450 = 450.

Resposta

450

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