Quantos números inteiros positivos entre 100 e 999 , incluindo este último,
são divisíveis por 3 e por 4 ?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de inteiros entre 100 e 999 (inclusive) que são divisíveis por 3 e por 4. Para resolver, vamos usar a ideia de múltiplos de \text{mcm}(3,4) no intervalo, o que vira uma progressão aritmética de razão igual a esse mínimo múltiplo comum.

Passo 2

Calculamos o mínimo múltiplo comum de 3 e 4:
\text{mcm}(3,4)=3\times4=12.

Passo 3

Encontramos o menor múltiplo de 12 maior ou igual a 100 e o maior múltiplo de 12 menor ou igual a 999.
Dividindo \tfrac{100}{12}\approx8{,}33, o próximo inteiro é 9, então
a_1 = 12\times9 = 108.
Dividindo \tfrac{999}{12}\approx83{,}25, o inteiro anterior é 83, então
a_n = 12\times83 = 996.

Passo 4

Como os múltiplos formam uma progressão aritmética de primeiro termo a_1=108, último termo a_n=996 e razão r=12, o número de termos é
n = \frac{a_n - a_1}{r} + 1 = \frac{996 - 108}{12} + 1 = \frac{888}{12} + 1 = 74 + 1 = 75.

Resposta

75

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