(UF-RJ) Se x=raiz3-raiz8-raiz3+raiz8, mostre que x é inteiro e negativo. (Sugestão: calcule x^2.)
86. (UF-PE) Antônio nasceu no século vinte, e seu pai, que tinha 30 anos quando Antônio nasceu, tinha x anos no ano x^2. Considerando estas informações, analise as afirmações seguintes:
0-0) O pai de Antônio nasceu no século vinte.
1-1) O pai de Antônio nasceu em 1936.

Passo 1

O enunciado apresenta dois exercícios.
O primeiro dá
x = raiz3 - raiz8;-;raiz3 + raiz8
e pede para mostrar que x é um inteiro negativo, sugerindo calcular x^2 (conteúdo: radicais e álgebra).
O segundo diz que Antônio nasceu no século XX e seu pai, 30 anos mais velho, tinha x anos no ano x^2. Devemos achar os anos de nascimento de Antônio e do pai (modelagem por equação quadrática) e, a seguir, verificar duas afirmações sobre o século de nascimento do pai.

Passo 2

Para o primeiro exercício, usamos
(raiza - raizb)^2 = a + b - 2raizab
Aqui a = 3 - raiz8 e b = 3 + raiz8. Então
a + b = 6, ab = (3 - raiz8)(3 + raiz8) = 9 - 8 = 1,
logo
x^2 = 6 - 2raiz1 = 6 - 2 = 4

Passo 3

De x^2 = 4 segue x = pm 2. Como
raiz3 - raiz8 < raiz3 + raiz8,
então
x = raiz3 - raiz8 - raiz3 + raiz8 < 0,
logo
x = -2,
que é de fato um inteiro negativo.

Passo 4

No segundo exercício, seja A o ano de nascimento de Antônio, com 1901 <= A <= 2000. O pai nasceu em A - 30. Em o ano x^2, ele tinha x anos, ou seja
x^2 - (A - 30) = x
Reorganizando,
A = x^2 - x + 30,
e procuramos inteiro x tal que 1901 <= x^2 - x + 30 <= 2000.

Passo 5

Testando valores próximos de raiz1900approx 43,6:
  • Para x=44: A = 44^2 - 44 + 30 = 1936 - 44 + 30 = 1922 (válido).
  • Para x=45: A = 2025 - 45 + 30 = 2010 > 2000 (inválido).
  • Para x=43: A = 1849 - 43 + 30 = 1836 < 1901 (inválido).
    Logo x = 44, Antônio nasceu em 1922 e o pai em 1922 - 30 = 1892.

Passo 6

Analisando as afirmações:
0-0) “O pai de Antônio nasceu no século vinte.” Falsa, pois nasceu em 1892 (século XIX).
1-1) “O pai de Antônio nasceu em 1936.” Falsa, pois 1936 é o ano em que ele tinha 44 anos, não de seu nascimento.

Resposta

Exercício UF-RJ: x = -2.
Exercício UF-PE:
0-0) Falso.
1-1) Falso.

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