Reduza à forma v=A sen u por uma translação adequada dos eixos e trace o gráfico:
y=2-5 sen x+12 cos x

Passo 1

O enunciado dá
y=2-5sen x+12cos x
e pede para, por uma translação de eixos, escrever a curva na forma
v=Asen u
e depois traçar o gráfico. Aqui o conteúdo é redução de combinação linear de seno e cosseno a uma só senoide, via identidade de soma de ângulos e translação vertical e horizontal.

Passo 2

Primeiro eliminamos o desvio vertical definindo
v=y-2
Então a equação fica
v=-5sen x+12cos x

Passo 3

Usamos a identidade
sen(x+phi)=sen xcosphi+cos xsenphi,
para procurar phi e amplitude A tais que
-5sen x+12cos x = Asen(x+phi)

Passo 4

Comparando coeficientes, queremos
Acosphi=-5, Asenphi=12
Logo
A=raiz(-5)^2+12^2=13,
e
cosphi=-513, senphi=1213
Isso dá phi no segundo quadrante, ou seja
phi=arccosl(-513r)approx1,965;rad

Passo 5

Definindo também a translação horizontal
u=x+phi,
ficamos com
v=13sen u,
que é exatamente a forma pedida.

Passo 6

Para traçar o gráfico de y:
– A curva v=13sen u tem amplitude 13, período 2pi, oscila entre -13 e +13 e cruza v=0 em u=0,pi,2pi,dots.
– Voltando às variáveis originais, u=x+phi implica que o traço em x está deslocado para a esquerda de phi.
– E v=y-2 indica que toda a senoide sobe 2 unidades.
Assim, y oscila entre
2-13=-11 e 2+13=15,
com máximo em x=tfracpi2-phi, mínimo em x=tfrac3pi2-phi, etc. O esboço é uma senoide de amplitude 13, período 2pi, deslocada à esquerda de phi e elevada de 2.

Resposta

v=y-2, u=x+arccosl(-tfrac513r), v=13sen u
O gráfico é uma senoide de amplitude 13, período 2pi, deslocada horizontalmente em phi=arccos(-5/13) para a esquerda e verticalmente 2 unidades para cima, oscilando entre y=-11 e y=15.

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