Uma equação em x, y é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de x por x^prime e y por y^prime. Por exemplo, a equação x^2+y^2=1 é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
Rotação de eixos por pi / 3

Passo 1

O enunciado nos diz que estamos vendo a mudança de coordenadas que é uma rotação de eixos em torno da origem de ângulo pi/3. Queremos descobrir que propriedade geométrica tem o gráfico de uma equação em (x,y) cuja forma é exatamente a mesma depois de substituir
(x,y)mapsto(x',y')
onde
x' = xcos(pi/3) - ysin(pi/3), y' = xsin(pi/3) + ycos(pi/3)
O conteúdo é simetria de curvas sob rotações, e precisaremos interpretar a invariância em termos de grupo de rotação e coordenadas polares.

Passo 2

Escrevendo a rotação de ângulo pi/3 explicitamente, temos
x' = tfrac12 x - tfracraiz32y, y' = tfracraiz32x + tfrac12 y
Dizer que a equação F(x,y)=0 é invariante sob essa rotação significa
F(x,y)=0 Long<=ftrightarrow F(x',y')=0
Logo, se (x,y) pertence à curva, seu ponto rotacionado em pi/3 também pertence.

Passo 3

Isso implica que a curva é fechada sob a aplicação da rotação de pi/3. Em particular, se aplicarmos seis vezes essa rotação (seis vezes pi/3 2pi), voltamos ao ponto inicial. Portanto o conjunto de rotações gerado por pi/3 é um grupo cíclico de ordem 6, e a curva é invariável sob todo esse grupo.

Passo 4

Geometricamente, invariância sob rotação de pi/3 significa que a curva possui simetria de ordem 6 em torno da origem. Em outras palavras, ela admite rotações de 60^circ, 120^circ, ···, até 360^circ, deixando-a inalterada. É o mesmo tipo de simetria que um hexágono regular ou uma rosa de 6 pétalas tem.

Passo 5

Em coordenadas polares (r,theta), qualquer ponto da curva satisfaz r = f(theta). A condição de invariância por thetamapstotheta+pi/3 força
f(theta+tfracpi3) = f(theta),
ou seja, a função f é periódica de período pi/3.

Resposta

O gráfico tem simetria de rotação de ordem 6 (ou seja, é invariante por rotações de 60^circ em torno da origem) e, em coordenadas polares, sua equação é r=f(theta) com f(theta+pi/3)=f(theta).

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