Uma equação em
é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de
por
e
por
. Por exemplo, a equação
é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
Rotação de eixos por
Rotação de eixos por
Passo 1
O enunciado nos diz que estamos vendo a mudança de coordenadas que é uma rotação de eixos em torno da origem de ângulo
. Queremos descobrir que propriedade geométrica tem o gráfico de uma equação em
cuja forma é exatamente a mesma depois de substituir
onde
O conteúdo é simetria de curvas sob rotações, e precisaremos interpretar a invariância em termos de grupo de rotação e coordenadas polares.
Passo 2
Escrevendo a rotação de ângulo
explicitamente, temos
Dizer que a equação
é invariante sob essa rotação significa
Logo, se
pertence à curva, seu ponto rotacionado em
também pertence.
Passo 3
Isso implica que a curva é fechada sob a aplicação da rotação de
. Em particular, se aplicarmos seis vezes essa rotação (seis vezes
dá
), voltamos ao ponto inicial. Portanto o conjunto de rotações gerado por
é um grupo cíclico de ordem
, e a curva é invariável sob todo esse grupo.
Passo 4
Geometricamente, invariância sob rotação de
significa que a curva possui simetria de ordem
em torno da origem. Em outras palavras, ela admite rotações de
,
, ···, até
, deixando-a inalterada. É o mesmo tipo de simetria que um hexágono regular ou uma rosa de
pétalas tem.
Passo 5
Em coordenadas polares
, qualquer ponto da curva satisfaz
. A condição de invariância por
força
ou seja, a função
é periódica de período
.
Resposta
O gráfico tem simetria de rotação de ordem
(ou seja, é invariante por rotações de
em torno da origem) e, em coordenadas polares, sua equação é
com
.