Uma equação em
é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de
por
e
por
. Por exemplo, a equação
é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
Passo 1
O enunciado nos dá a mudança de coordenadas
e pergunta qual propriedade geométrica deve ter o gráfico de uma equação em
para ser invariante por essa troca. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de simetrias de curvas via transformações de eixos.
Passo 2
Note que a transformação
corresponde a uma rotação de
em torno da origem (ou reflexão no ponto origem). Em outras palavras, leva cada ponto
ao ponto diametralmente oposto
.
Passo 3
Se a equação de uma curva é invariante sob essa transformação, então sempre que
satisfaz a equação, o ponto
também a satisfaz. Geometricamente isso significa que a curva possui simetria central em relação à origem, isto é, é invariante por rotação de
em torno do ponto
.
Resposta
O gráfico deve ser simétrico em relação à origem (simetria central ou invariância por rotação de
em torno da origem).