Uma equação em x, y é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de x por x^prime e y por y^prime. Por exemplo, a equação x^2+y^2=1 é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
x=-x^prime, y=-y^prime

Passo 1

O enunciado nos dá a mudança de coordenadas
x = -x', y = -y'
e pergunta qual propriedade geométrica deve ter o gráfico de uma equação em x,y para ser invariante por essa troca. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de simetrias de curvas via transformações de eixos.

Passo 2

Note que a transformação
(x',y')mapsto(x,y)=(-x',-y')
corresponde a uma rotação de 180^circ em torno da origem (ou reflexão no ponto origem). Em outras palavras, leva cada ponto (x',y') ao ponto diametralmente oposto (-x',-y').

Passo 3

Se a equação de uma curva é invariante sob essa transformação, então sempre que (x,y) satisfaz a equação, o ponto (-x,-y) também a satisfaz. Geometricamente isso significa que a curva possui simetria central em relação à origem, isto é, é invariante por rotação de 180^circ em torno do ponto (0,0).

Resposta

O gráfico deve ser simétrico em relação à origem (simetria central ou invariância por rotação de 180^circ em torno da origem).

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