O que é a região fundamental de e^{z} ? Qual a sua importância?

Passo 1

O enunciado pergunta “o que é a região fundamental de e^{z} e qual a sua importância?”. Estamos em análise complexa, estudando funções periódicas e a construção de um domínio onde e^{z} seja injetiva para definir seu inverso (o logaritmo).

Passo 2

Observação da periodicidade. A função e^{z} satisfaz
e^{z + 2\pi i} = e^{z}\,,
ou seja, seu período básico é 2\pi i. Isso significa que todos os pontos da forma z + 2\pi i k (com k\in\mathbb{Z}) são enviados para o mesmo valor em \mathbb{C}\setminus\{0\}.

Passo 3

Definição de região fundamental. Uma região fundamental de e^{z} é um subconjunto D\subset\mathbb{C} que contém exatamente um representante de cada classe de equivalência z\sim z+2\pi i k. A escolha mais comum é a faixa vertical
D = \{\,x + iy \mid x\in\mathbb{R},\;0 \le y < 2\pi\}
ou a faixa aberta em uma das bordas, por exemplo
D_{\mathrm{prin}} = \{\,x + iy \mid x\in\mathbb{R},\;-\pi < y \le \pi\}\,.

Passo 4

Injetividade em D. Em qualquer faixa de largura 2\pi ao longo do eixo imaginário, se z_{1},z_{2}\in D e e^{z_{1}}=e^{z_{2}}, então z_{1}-z_{2}=2\pi i k para algum k\in\mathbb{Z}. Mas como ambos têm parte imaginária em um intervalo de comprimento 2\pi, só cabe k=0, logo z_{1}=z_{2}. Assim, e^{z} é injetiva em D.

Passo 5

Sobrejetividade para \mathbb{C}\setminus\{0\}. Dado qualquer w\in\mathbb{C}\setminus\{0\}, escrevendo w = re^{i\theta} com r>0 e \theta\in\mathbb{R}, basta escolher
z = \ln r + i\,\theta
e ajustar \theta para cair em [0,2\pi) (ou em (-\pi,\pi]). Isso mostra que e^{z}\colon D\to\mathbb{C}\setminus\{0\} é sobrejetiva. Portanto é bijetiva.

Passo 6

Importância. Em D, e^{z} tem inversa holomorfa, que é precisamente a escolha de um ramo do logaritmo complexo (o logaritmo principal). Sem uma região fundamental, a inversão seria multivaluada. Com D, o logaritmo fica bem-definido e analítico, permitindo resolver equações e construir integrais e séries envolvendo \log z.

Resposta

A região fundamental de e^{z} é qualquer faixa vertical de largura 2\pi no eixo imaginário (por exemplo \{x+iy: x\in\mathbb{R},\,0\le y<2\pi\}), onde e^{z} se torna bijetiva entre essa faixa e \mathbb{C}\setminus\{0\}. Sua importância é permitir a definição de um ramo único e holomorfo do logaritmo complexo, invertendo e^{z} sem ambiguidade.

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