O que é a região fundamental de
? Qual a sua importância?
Passo 1
O enunciado pergunta “o que é a região fundamental de
e qual a sua importância?”. Estamos em análise complexa, estudando funções periódicas e a construção de um domínio onde
seja injetiva para definir seu inverso (o logaritmo).
Passo 2
Observação da periodicidade. A função
satisfaz
ou seja, seu período básico é
. Isso significa que todos os pontos da forma
(com
) são enviados para o mesmo valor em
.
Passo 3
Definição de região fundamental. Uma região fundamental de
é um subconjunto
que contém exatamente um representante de cada classe de equivalência
. A escolha mais comum é a faixa vertical
ou a faixa aberta em uma das bordas, por exemplo
Passo 4
Injetividade em
. Em qualquer faixa de largura
ao longo do eixo imaginário, se
e
, então
para algum
. Mas como ambos têm parte imaginária em um intervalo de comprimento
, só cabe
, logo
. Assim,
é injetiva em
.
Passo 5
Sobrejetividade para
. Dado qualquer
, escrevendo
com
e
, basta escolher
e ajustar
para cair em
(ou em
). Isso mostra que
é sobrejetiva. Portanto é bijetiva.
Passo 6
Importância. Em
,
tem inversa holomorfa, que é precisamente a escolha de um ramo do logaritmo complexo (o logaritmo principal). Sem uma região fundamental, a inversão seria multivaluada. Com
, o logaritmo fica bem-definido e analítico, permitindo resolver equações e construir integrais e séries envolvendo
.
Resposta
A região fundamental de
é qualquer faixa vertical de largura
no eixo imaginário (por exemplo
), onde
se torna bijetiva entre essa faixa e
. Sua importância é permitir a definição de um ramo único e holomorfo do logaritmo complexo, invertendo
sem ambiguidade.