Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de
abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos.
.
Passo 1
O enunciado pede para representar geometricamente o conjunto
e identificar se
é aberto, fechado, limitado e compacto, além de determinar
e
. O conteúdo envolvido é topologia em
: definição de conjunto aberto, fechado, conjunto limitado, compacto (Heine-Borel), interior e fronteira.
Passo 2
Geometricamente,
é uma reta no plano com coeficiente angular
e intercepto no eixo
igual a
. Para desenhar, basta traçar a reta que passa por
e
e se estende indefinidamente nos dois sentidos.
Passo 3
Para ver que
é fechado, note que a função
é contínua e
Como
é fechado em
, seu pré-imagem
é fechado. Por outro lado,
não contém nenhum disco aberto não trivial, logo não é aberto em
.
Passo 4
O conjunto
é ilimitado porque se estende infinitamente: qualquer ponto
pode ter
arbitrariamente grande e ainda pertencer a
. Assim,
não é limitado e, portanto, não pode ser compacto (em
compacto
fechado e limitado).
Passo 5
– O interior de
é vazio, pois em torno de qualquer ponto de uma reta em
todo disco de raio
contém pontos fora da reta. Logo
– A fronteira de
é o próprio
, porque
é fechado e não tem interior. Assim