Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de R^2 abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos.
(x, y) in R^2 mid x+y=1.

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente o conjunto
A = (x,y)inR^2 mid x+y=1,
e identificar se A é aberto, fechado, limitado e compacto, além de determinar int(A) e partial A. O conteúdo envolvido é topologia em R^2: definição de conjunto aberto, fechado, conjunto limitado, compacto (Heine-Borel), interior e fronteira.

Passo 2

Geometricamente, A é uma reta no plano com coeficiente angular -1 e intercepto no eixo y igual a 1. Para desenhar, basta traçar a reta que passa por (0,1) e (1,0) e se estende indefinidamente nos dois sentidos.

Passo 3

Para ver que A é fechado, note que a função
fcolon R^2 to R, f(x,y)=x+y
é contínua e
A = f^-1(1)
Como 1 é fechado em R, seu pré-imagem A é fechado. Por outro lado, A não contém nenhum disco aberto não trivial, logo não é aberto em R^2.

Passo 4

O conjunto A é ilimitado porque se estende infinitamente: qualquer ponto (x,1-x)in A pode ter |x| arbitrariamente grande e ainda pertencer a A. Assim, A não é limitado e, portanto, não pode ser compacto (em R^2 compacto iff fechado e limitado).

Passo 5

– O interior de A é vazio, pois em torno de qualquer ponto de uma reta em R^2 todo disco de raio r>0 contém pontos fora da reta. Logo
int(A)=emptyset
– A fronteira de A é o próprio A, porque A é fechado e não tem interior. Assim
partial A = A = (x,y)inR^2 mid x+y=1

Resposta

A é fechado e não é aberto; não é limitado e, consequentemente, não é compacto;
int(A)=emptyset;
partial A=A.

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