Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de
abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos.
.
Passo 1
O enunciado pede para representar geometricamente o conjunto
e dizer se ele é fechado ou aberto, limitado ou não e compacto ou não. Também precisamos encontrar o interior de
e a sua fronteira. O conteúdo envolvido é topologia em
(noções de aberto, fechado, interior, fronteira) e o Teorema de Heine-Borel para compacidade em espaços euclidianos.
Passo 2
Geometricamente,
é a “corona” ou anel circular centrado na origem, com raio interno
e raio externo
, incluindo ambas as circunferências. Em outras palavras, é a região entre o círculo de raio
e o círculo de raio
, sem nenhum furo nas bordas.
Passo 3
Para ver que
é fechado, note que a aplicação
é contínua e o conjunto
é fechado. Assim
é fechado. Ele não é aberto porque, em pontos sobre as circunferências
ou
, qualquer bola contém pontos fora de
.
Passo 4
O conjunto
está contido no disco de raio
, logo é limitado. Sendo fechado e limitado em
, pelo Teorema de Heine-Borel
é compacto.
Passo 5
O interior de
são exatamente os pontos onde a desigualdade é estrita, ou seja
que é o anel aberto de mesma forma geométrica. A fronteira de
é a união das duas circunferências-limite, isto é
Resposta
O conjunto
é o anel circular fechado entre os círculos de raio
e
.
Fechado: sim.
Aberto: não.
Limitado: sim.
Compacto: sim.
Interior: .
Fronteira: .
Aberto: não.
Limitado: sim.
Compacto: sim.
Interior:
Fronteira: