Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de R^2 abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos.
(x, y) in R^2 mid 1 <= x^2+y^2 <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente o conjunto
A = (x,y)in R^2 mid 1 <= x^2 + y^2 <= 2,
e dizer se ele é fechado ou aberto, limitado ou não e compacto ou não. Também precisamos encontrar o interior de A e a sua fronteira. O conteúdo envolvido é topologia em R^2 (noções de aberto, fechado, interior, fronteira) e o Teorema de Heine-Borel para compacidade em espaços euclidianos.

Passo 2

Geometricamente, A é a “corona” ou anel circular centrado na origem, com raio interno 1 e raio externo raiz2, incluindo ambas as circunferências. Em outras palavras, é a região entre o círculo de raio 1 e o círculo de raio raiz2, sem nenhum furo nas bordas.

Passo 3

Para ver que A é fechado, note que a aplicação
fcolon R^2 to R, f(x,y)=x^2+y^2
é contínua e o conjunto [1,2]subsetR é fechado. Assim
A = f^-1([1,2])
é fechado. Ele não é aberto porque, em pontos sobre as circunferências x^2+y^2=1 ou x^2+y^2=2, qualquer bola contém pontos fora de A.

Passo 4

O conjunto A está contido no disco de raio raiz2, logo é limitado. Sendo fechado e limitado em R^2, pelo Teorema de Heine-Borel A é compacto.

Passo 5

O interior de A são exatamente os pontos onde a desigualdade é estrita, ou seja
int(A)=(x,y)inR^2mid 1 < x^2+y^2 < 2,
que é o anel aberto de mesma forma geométrica. A fronteira de A é a união das duas circunferências-limite, isto é
partial A = (x,y)inR^2mid x^2+y^2=1;cup;(x,y)inR^2mid x^2+y^2=2

Resposta

O conjunto A é o anel circular fechado entre os círculos de raio 1 e raiz2.
Fechado: sim.
Aberto: não.
Limitado: sim.
Compacto: sim.
Interior: (x,y)mid 1 < x^2+y^2 < 2.
Fronteira: (x,y)mid x^2+y^2=1cup(x,y)mid x^2+y^2=2.

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