(Requer cálculo)
a) Mostre que a relação
no conjunto de todas as funções diferenciáveis de
para
que consiste em todos os pares (
) tal que
para qualquer número real
é uma relação de equivalência.
b) Quais funções estão na mesma classe de equivalência que a função
?
a) Mostre que a relação
b) Quais funções estão na mesma classe de equivalência que a função
Passo 1
O enunciado define uma relação
no conjunto
por
por
Precisamos (a) mostrar que
é relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva) e (b) descrever a classe de equivalência de
.
Passo 2
Reflexividade: para qualquer
vale trivialmente
logo
. Portanto,
é reflexiva.
Passo 3
Simetria: se
então
para todo
. Mas daí segue imediatamente
isto é,
. Logo,
é simétrica.
Passo 4
Transitividade: se
e
, então
Pela propriedade da igualdade obtemos
para todo
, ou seja
. Logo,
é transitiva.
Passo 5
Como
é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que
é uma relação de equivalência em
.
Passo 6
Para encontrar a classe de equivalência de
, note que
Uma função
pertence à mesma classe de
se e somente se
para todo
. Integrando, vem
onde
é constante.
Resposta
A relação
é de equivalência. A classe de equivalência de
é