(Requer cálculo)
a) Mostre que a relação R no conjunto de todas as funções diferenciáveis de \mathbf{R} para \mathbf{R} que consiste em todos os pares ( f, g ) tal que f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) para qualquer número real x é uma relação de equivalência.
b) Quais funções estão na mesma classe de equivalência que a função f(x)=x^{2} ?

Passo 1

O enunciado define uma relação R no conjunto \mathcal{D}=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f\text{ é diferenciável}\}éá
por
(f,g)\in R\quad\Longleftrightarrow\quad f'(x)=g'(x)\;\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Precisamos (a) mostrar que R é relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva) e (b) descrever a classe de equivalência de f(x)=x^2.

Passo 2

Reflexividade: para qualquer f\in\mathcal{D} vale trivialmente
f'(x)=f'(x)\quad\text{para todo }x,
logo (f,f)\in R. Portanto, R é reflexiva.

Passo 3

Simetria: se (f,g)\in R então f'(x)=g'(x) para todo x. Mas daí segue imediatamente
g'(x)=f'(x)\quad\text{para todo }x,
isto é, (g,f)\in R. Logo, R é simétrica.

Passo 4

Transitividade: se (f,g)\in R e (g,h)\in R, então
f'(x)=g'(x) \quad\text{e}\quad g'(x)=h'(x) \quad\text{para todo }x.
Pela propriedade da igualdade obtemos f'(x)=h'(x) para todo x, ou seja (f,h)\in R. Logo, R é transitiva.

Passo 5

Como R é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que R é uma relação de equivalência em \mathcal{D}.

Passo 6

Para encontrar a classe de equivalência de f(x)=x^2, note que
f'(x)=2x.
Uma função g\in\mathcal{D} pertence à mesma classe de f se e somente se g'(x)=2x para todo x. Integrando, vem
g(x)=\int 2x\,dx = x^2 + C,
onde C\in\mathbb{R} é constante.

Resposta

A relação R é de equivalência. A classe de equivalência de f(x)=x^2 é
\{\,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid g(x)=x^2 + C,\;C\in\mathbb{R}\}.

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