(Requer cálculo)
a) Seja
um inteiro positivo. Mostre que a relação
no conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais, que consiste em todos os pares
tal que
, é uma relação de equivalência. [Aqui,
é a enésima derivada de
.]
b) Quais funções estão na mesma classe de equivalência que a função
, em que
?
a) Seja
b) Quais funções estão na mesma classe de equivalência que a função
Passo 1
O enunciado define a relação
no conjunto dos polinômios com coeficientes reais por
Precisamos mostrar que
é uma relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva) e, em seguida, para
e
, caracterizar sua classe de equivalência.
Passo 2
Verificamos a reflexividade: para qualquer polinômio
vale
logo
. Portanto
é reflexiva.
Passo 3
Verificamos a simetria: se
então
o que implica
portanto
. Assim
é simétrica.
Passo 4
Verificamos a transitividade: se
e
então
de onde segue
logo
. Assim
é transitiva.
Passo 5
Para
e
calculamos
A classe de equivalência de
são todos os polinômios
tais que
Integrando três vezes de modo geral obtemos
com
.
Resposta
A relação
é de equivalência. Para
, a classe de equivalência de
é