(Requer cálculo)
a) Seja n um inteiro positivo. Mostre que a relação R no conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais, que consiste em todos os pares (f, g) tal que f^{(n)}(x)= g^{(n)}(x), é uma relação de equivalência. [Aqui, f^{(n)}(x) é a enésima derivada de f(x).]
b) Quais funções estão na mesma classe de equivalência que a função f(x)=x^{4}, em que n=3 ?

Passo 1

O enunciado define a relação R no conjunto dos polinômios com coeficientes reais por
(f,g)\in R \quad\Longleftrightarrow\quad f^{(n)}(x)=g^{(n)}(x)\text{ para todo }x.
Precisamos mostrar que R é uma relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva) e, em seguida, para n=3 e f(x)=x^4, caracterizar sua classe de equivalência.

Passo 2

Verificamos a reflexividade: para qualquer polinômio f vale
f^{(n)}(x)=f^{(n)}(x),
logo (f,f)\in R. Portanto R é reflexiva.

Passo 3

Verificamos a simetria: se (f,g)\in R então
f^{(n)}(x)=g^{(n)}(x),
o que implica
g^{(n)}(x)=f^{(n)}(x),
portanto (g,f)\in R. Assim R é simétrica.

Passo 4

Verificamos a transitividade: se (f,g)\in R e (g,h)\in R então
f^{(n)}(x)=g^{(n)}(x) \quad\text{e}\quad g^{(n)}(x)=h^{(n)}(x),
de onde segue
f^{(n)}(x)=h^{(n)}(x),
logo (f,h)\in R. Assim R é transitiva.

Passo 5

Para n=3 e f(x)=x^4 calculamos
f'(x)=4x^3,\quad f''(x)=12x^2,\quad f'''(x)=24x.
A classe de equivalência de f são todos os polinômios g tais que
g'''(x)=24x.
Integrando três vezes de modo geral obtemos
g(x)=x^4 + A x^2 + B x + C,
com A,B,C\in\mathbb{R}.

Resposta

A relação R é de equivalência. Para n=3, a classe de equivalência de x^4 é
\{\,x^4 + A x^2 + B x + C \mid A,B,C\in\mathbb{R}\}.

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