Resolva as desigualdades.
(4 \leq(x-6)^{2} \leq 9)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade composta
4 <= (x-6)^2 <= 9
Este tipo de problema envolve uma expressão quadrática. Vamos usar a propriedade de valor absoluto para transformar (x-6)^2 em lvert x-6rvert e depois encontrar a interseção dos intervalos resultantes.

Passo 2

Separamos a desigualdade composta em duas simultâneas:
(x-6)^2 >= 4
e
(x-6)^2 <= 9

Passo 3

Usamos a relação (x-6)^2 = lvert x-6rvert^2. Então
(x-6)^2 >= 4 Long<=ftrightarrow lvert x-6rvert >= 2,
e
(x-6)^2 <= 9 Long<=ftrightarrow lvert x-6rvert <= 3

Passo 4

Resolvendo lvert x-6rvert >= 2 temos
x-6 <= -2 Longrightarrow x <= 4
ou
x-6 >= 2 Longrightarrow x >= 8
Logo a solução desta parte é
(-infty,4];cup;[8,infty)

Passo 5

Resolvendo lvert x-6rvert <= 3 obtemos
-3 <= x-6 <= 3 Longrightarrow 3 <= x <= 9
Logo a solução desta parte é
[3,9]

Passo 6

Para satisfazer as duas condições simultaneamente, fazemos a interseção
l((-infty,4]cup[8,infty)r);cap;[3,9] ;=; [3,4];cup;[8,9]

Resposta

[3,4];cup;[8,9]

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