Resolva em R+a equação x^2 x-(x^2+x) x^x+x^3=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R+ a equação
x^2x - (x^2 + x),x^x + x^3 = 0
O conteúdo envolve manipular potências de mesmo expoente e reconhecer uma forma quadrática em x^x.

Passo 2

Definimos
t = x^x,
então x^2x = (x^x)^2 = t^2. A equação fica
t^2 - (x^2 + x),t + x^3 = 0,
que é uma equação quadrática em t.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
De<a = (x^2+x)^2 - 4cdot 1 cdot x^3 = x^4 + 2x^3 + x^2 - 4x^3 = x^2(x-1)^2
Logo raizDe<a = x,|x-1|.

Passo 4

As raízes em t são
t = (x^2+x)pm x(x-1)2
Isso leva a
t1 = x^2+x + x^2-x2 = x^2, t2 = x^2+x - (x^2-x)2 = x
Portanto as duas possibilidades são
x^x = x^2 ou x^x = x

Passo 5

Resolvendo cada caso:
  1. x^x = x^2. Se x>0, tomando ln em ambos os lados:
    xln x = 2ln x
    Se ln x=0, então x=1. Se ln xneq0, divide-se e obtém-se x=2. Logo as soluções deste caso são x=1,2.
  2. x^x = x. Novamente
    xln x = ln x
    Se ln x=0 vem x=1, e se ln xneq0 teríamos x=1 ao dividir, mas isso contradiz ln xneq0. Logo só x=1.
Juntando, as soluções em R+ são x=1 e x=2.

Resposta

x=1 ou x=2

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