Resolva as equações em R+:
x^2 x^2-5 x+3=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R+ a equação
x^2x^2-5x+3 = x
Vamos usar propriedades de exponenciação e logaritmo para encontrar todas as soluções positivas.

Passo 2

Considere primeiro x=1. Temos
1^2cdot1^2-5cdot1+3 = 1^2-5+3 = 1^0 = 1,
que coincide com o lado direito. Logo, x=1 é uma solução.

Passo 3

Agora suponha xneq1. Como x>0, temos ln xneq0, então podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
lnl(x^2x^2-5x+3r) = ln(x) Longrightarrow (2x^2-5x+3),ln x = ln x
Dividindo por ln x (que não é zero), obtemos
2x^2-5x+3 = 1

Passo 4

Reescrevendo a igualdade
2x^2-5x+3 = 1
vemos que ela é equivalente à equação quadrática
2x^2-5x+2 = 0
O discriminante vale
De<a = (-5)^2 - 4cdot2cdot2 = 25 - 16 = 9,
portanto as raízes são
x = 5 pm raiz92cdot2 = 5 pm 34,
isto é,
x = 2 ou x = tfrac12

Passo 5

Verificamos que ambas as soluções x=2 e x=tfrac12 são positivas e satisfazem ln xneq0. Não surgem outras soluções em R+.

Resposta

As soluções em R+ são
x = tfrac12, x = 1, x = 2

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