Resolva a equação 4^x=2 cdot 14^x+3 cdot 49^x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
4^x = 2cdot 14^x + 3cdot 49^x
O conteúdo é equações envolvendo potências com base diferente, e vamos usar mudança de variável para transformar em uma equação quadrática.

Passo 2

Escrevemos todas as bases em termos de 2 e 7:
4^x = (2^2)^x = 2^2x, 14^x = (2cdot7)^x=2^x7^x, 49^x=(7^2)^x=7^2x
Agora a equação fica
2^2x = 2l(2^x7^xr) + 3cdot 7^2x

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
A = 2^x, B = 7^x,
que são positivos para qualquer x. Substituindo, obtemos
A^2 = 2AB + 3B^2 Longrightarrow A^2 -2AB -3B^2 = 0
Isso é uma equação quadrática em A.

Passo 4

Fatoramos a quadrática:
A^2 -2AB -3B^2 = (A -3B)(A + B) = 0
Como A=2^x>0 e B=7^x>0, a solução A + B = 0 não é válida. Logo só vale
A -3B = 0 Longrightarrow 2^x = 3cdot 7^x Longrightarrow 2^x7^x = 3 Longrightarrow l(tfrac27r)^x = 3

Passo 5

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
x,ln!l(tfrac27r) = ln(3) Longrightarrow x = ln(3)ln!l(tfrac27r)

Resposta

x = ln(3)ln!l(tfrac27r)

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