Resolva a equação 2^3 x-2=3^2 x+1.

Solução

2^3 x-2=3^2 x+1 Rightarrow 2^3 x2^2=3^2 x cdot 3 Rightarrow (2^3)^x(3^2)^x=2^2 cdot 3 Rightarrow 8^x9^x=12 Rightarrow
Rightarrow(89)^x=12 Rightarrow x=log 89 12
S=log 89 12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
2^3x-2 = 3^2x+1
O conteúdo aqui é resolução de equação exponencial com bases diferentes; vamos usar logaritmos para transformar em uma equação linear em x.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados, lembrando que ln(a^b)=bln a. Assim,
lnl(2^3x-2r) = lnl(3^2x+1r)
implica
(3x-2)ln2 = (2x+1)ln3

Passo 3

Expandindo os dois lados, obtemos
3x,ln2 - 2ln2 = 2x,ln3 + ln3
Agora isolamos os termos que contêm x num lado e os constantes no outro.

Passo 4

Colocando os termos com x juntos e os demais juntos, fica
3x,ln2 - 2x,ln3 = ln3 + 2ln2
Fatorando x no lado esquerdo, resulta
xl(3ln2 - 2ln3r) = ln3 + 2ln2

Passo 5

Para encontrar x, dividimos ambos os lados por l(3ln2 - 2ln3r):
x = ln3 + 2ln23ln2 - 2ln3

Passo 6

Observando que ln3 + 2ln2 = ln(3cdot2^2) = ln12 e 3ln2 - 2ln3 = ln(2^3) - ln(3^2) = lnl(tfrac89r), podemos reescrever
x = ln12ln!l(tfrac89r) = logtfrac8912

Resposta

x = logtfrac8912

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