Resolva a equação 2 x^2-16 x=22 completando o quadrado e justifique a sua resposta resolvendo-a novamente, mas pela fórmula quadrática.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação quadrática
2x^2-16x=22
de duas maneiras: primeiro completando o quadrado e depois usando a fórmula quadrática. O conteúdo aqui é resolução de equações do 2º grau por dois métodos clássicos.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão ax^2+bx+c=0. Primeiro subtraímos 22 de ambos os lados:
2x^2-16x-22=0
Em seguida dividimos toda a equação por 2 (coeficiente de x^2):
x^2-8x-11=0

Passo 3

Para completar o quadrado no termo x^2-8x, lembramos que
x^2-8x = (x-4)^2-4^2 = (x-4)^2-16
Substituindo na equação x^2-8x-11=0, temos
(x-4)^2-16-11=0
ou seja
(x-4)^2-27=0

Passo 4

Isolamos o quadrado e extraímos a raiz:
(x-4)^2=27 Longrightarrow x-4 = pmraiz27 = pm 3raiz3
Logo
x = 4 pm 3raiz3

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula quadrática em
2x^2-16x-22=0,
onde a=2, b=-16, c=-22. O discriminante é
De<a = b^2-4ac = (-16)^2-4cdot2cdot(-22) =256 +176 =432
E raizDe<a=raiz432=raiz144cdot3=12raiz3

Passo 6

As raízes pela fórmula
x = -bpm raizDe<a2a = -(-16)pm 12raiz32cdot2 = 16pm 12raiz34 = 4 pm 3raiz3

Resposta

As soluções são
x = 4 + 3raiz3 e x = 4 - 3raiz3

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