Resolva a equação exponencial: 2^x-1+2^x+2^x+1-2^x+2+2^x+3=120.

Solução

Resolvemos colocando 2^x-1 em evidência:
2^x-1+2^x+2^x+1-2^x+2+2^x+3=120 Leftrightarrow 2^x-1(1+2+2^2-2^3+2^4)= =120 Leftrightarrow 2^x-1 cdot 15=120 Leftrightarrow 2^x-1=8 Leftrightarrow 2^x-1=2^3 Leftrightarrow x-1=3 Leftrightarrow x=4, S=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
2^x-1 + 2^x + 2^x+1 - 2^x+2 + 2^x+3 = 120
O conteúdo envolvido é manipulação de potências de base 2 e fatoração de termo comum. Vamos usar o menor expoente, que é x-1, para colocar em evidência e simplificar a soma.

Passo 2

Colocando 2^x-1 em evidência, reescrevemos cada termo como múltiplo de 2^x-1:
2^x-1 + 2^x + 2^x+1 - 2^x+2 + 2^x+3 =2^x-1l(1 + 2 + 2^2 - 2^3 + 2^4r)

Passo 3

Agora calculamos a soma dentro dos parênteses:
1 + 2 + 2^2 - 2^3 + 2^4 = 1 + 2 + 4 - 8 + 16 = 15
Assim a equação fica
2^x-1 cdot 15 = 120

Passo 4

Isolamos 2^x-1:
2^x-1 = 12015 = 8 = 2^3
Como as bases são iguais, igualamos expoentes:
x - 1 = 3 Longrightarrow x = 4

Resposta

A solução da equação é x = 4.

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