Resolva as equações exponenciais abaixo:
raiz5^x-2 cdot raiz[x]25^2 x-5-raiz[2 x]5^3 x-2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver
raiz5^x-2;cdot;raiz[x]25^2x-5;-;raiz[2x]5^3x-2;=;0
O conteúdo envolve propriedades de radicais e de potências (transformar raízes em expoentes fracionários).

Passo 2

Expressamos cada radical como potência de base 5:
raiz5^x-2 = (5^x-2)^tfrac12 = 5^x-22,
raiz[x]25^2x-5 = l((5^2)^2x-5r)^tfrac1x =5^2cdot2x-5x=5^4-10x,
raiz[2x]5^3x-2 = (5^3x-2)^12x=5^3x-22x=5^32-1x

Passo 3

O produto das duas primeiras potências é
5^x-22cdot5^4-10x =5^x-22+4-10x
A equação fica
5^x-22+4-10x ;-;5^32-1x =0 Longrightarrow 5^x-22+4-10x =5^32-1x

Passo 4

Igualamos os expoentes:
x-22+4-10x =32-1x
Multiplicando ambos os lados por 2:
x-2+8-20x=3-2x Longrightarrow x+6-20x=3-2x
Multiplicando tudo por x:
x^2+6x-20=3x-2 Longrightarrow x^2+3x-18=0
As raízes dessa equação quadrática são
x=-3pmraiz9+722 =-3pm92,
logo x=3 ou x=-6.

Passo 5

Verificamos o domínio: xneq0 para não anular denominadores nos expoentes fracionários, e como os radicandos são potências de 5 positivas, não há outro impedimento. Portanto ambas soluções são válidas.

Resposta

x=3 ou x=-6.

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