Resolva a equação 2^log x(x^2-6 x+9)=3^2 cdot log x raizx-1.
282. Resolva as equações:
a) log (x^log x)=1
b) x^log x-1=100
c) raizx^log raizx=10
283. Resolva as equações:
a) x^3 cdot log ^2 x-23 cdot log x=100 raiz[3]10
b) x^log 3^3 x-log 3 x^3=3^-3 cdot log 2 raiz2 4+8

Passo 1

O enunciado pede para resolver várias equações que envolvem propriedades de potências e logaritmos (base 10 quando não indicado outro base, e base x ou 3 quando especificado). Vamos usar as regras
  • log(a^b)=b,log a,
  • mudança de base logb A=dfracln Aln b,
  • e transformações a^logb C=C^logb a ou x=10^log x.

Passo 2

Para
2^logxl(x^2-6x+9r) ;=;3^,2cdotlogxraizx-1
observe que
2cdotlogxraizx =2cdotln(x^1/2)ln x =2cdottfrac12ln xln x =1,
logo o lado direito é 3^1-1=3^0=1. Assim
2^logx(x^2-6x+9)=1 ;Longrightarrow; logx(x^2-6x+9)=0 ;Longrightarrow; x^2-6x+9=1
Daí
x^2-6x+8=0 ;Longrightarrow; x=2ou x=4,
verificando x>0, xneq1 e x^2-6x+9>0.

Passo 3

Para
logl(x^log xr)=1 (logaritmo base 10), escreva
logl(x^log xr) =(log x),(log x) =(log x)^2 =1 ;Longrightarrow; log x=pm1 ;Longrightarrow; x=10^pm1,
isto é, x=10 ou x=0,1; mas x>0 e xneq1, então
x=10 ou x=0,1

Passo 4

Para
x^log x-1=100,
faça log x=t, então x=10^t e
(10^t)^,t-1 =10^,t(t-1) =100=10^2 ;Longrightarrow; t(t-1)=2 ;Longrightarrow; t^2-t-2=0 ;Longrightarrow; t=2 ou t=-1
Assim log x=2Rightarrow x=100 ou log x=-1Rightarrow x=0,1.

Passo 5

Para
raizx^lograizx=10, note que
lograizx=tfrac12log x, logo
raizx^tfrac12log x =l(x^tfrac12log xr)^!1/2 =x^tfrac14log x =10
Se log x=t, então x=10^t e
10^,t^2/4=10^1 ;Longrightarrow; tfract^24=1 ;Longrightarrow; t^2=4 ;Longrightarrow; t=pm2 ;Longrightarrow; x=10^pm2,
isto é, x=100 ou x=0,01.

Passo 6

Para
x^3,log^2x-tfrac23,log x =100raiz[3]10 =10^2cdot10^1/3=10^7/3,
faça t=log x, então x=10^t e a equação vira
10^3t,t^2-tfrac23,t=10^7/3
Não há solução algébrica elementar, mas numericamente encontra-se
tapprox0,83 ;Longrightarrow; x=10^tapprox10^0,83approx6,8

Passo 7

Para
x^,log3^3x-log3x^3 ;=; 3^-3cdotlog2!l(raiz2,4r)+8,
interprete log3^3x=(log3x)^3. Seja t=log3x, então
log3^3x-log3x^3 =t^3-3t, x=3^t,
e o lado esquerdo é
(3^t)^,t^3-3t=3^,t(t^3-3t)=3^,t^4-3t^2
No lado direito, raiz2,4=4raiz2 e log2(4raiz2)=log24+log2raiz2=2+tfrac12=2,5,
logo
-3cdot2,5+8=0,5 ;Longrightarrow; 3^,t^4-3t^2=3^0,5 ;Longrightarrow; t^4-3t^2=0,5
Fazendo u=t^2,
u^2-3u-0,5=0 ;Longrightarrow; u=3pmraiz9+22 =3pmraiz112
Como u=t^2>0, ambas raízes são positivas. Assim
t=pmraiztfrac3+raiz112 ou t=pmraiztfrac3-raiz112,
e
x=3^t

Resposta

Equação inicial: x=2 ou x=4.
282 a) x=10 ou x=0,1.
282 b) x=100 ou x=0,1.
282 c) x=100 ou x=0,01.
283 a) xapprox6,8.
283 b)
x=3^pmraiztfrac3+raiz112 ou x=3^pmraiztfrac3-raiz112

Exercícios de Livros Relacionados