Resolva as equações:
log x 5 raiz5-1,25=log x^2 raiz5

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em x>0 e xneq1, a equação
logxl(5raiz5r);-;1,25 ;=;l(logx(raiz5)r)^2
O conteúdo envolve propriedades de logaritmo (mudança de base, potências) e solução de uma equação quadrática.

Passo 2

Observe que
5raiz5 =5^1cdot5^1/2=5^3/2, raiz5=5^1/2
Logo
logxl(5raiz5r) =logxl(5^3/2r) =tfrac32,logx(5), logx(raiz5) =logxl(5^1/2r) =tfrac12,logx(5)

Passo 3

Defina
t=logx(raiz5)
Então logx(5)=2t e
logxl(5raiz5r) =tfrac32,(2t)=3t
Substituindo na equação original fica
3t - 1,25 = t^2,
ou seja
t^2 - 3t + 1,25 = 0

Passo 4

Resolvendo a quadrática
t^2 - 3t + 1,25 = 0
temos discriminante
De<a = (-3)^2 - 4cdot1cdot1,25 = 9 - 5 = 4,
portanto
t = 3 pm raiz42 =3pm22 ;Longrightarrow; t1 = 2,5, ;t2 = 0,5

Passo 5

Da definição t=logx(raiz5) segue
x^t = raiz5 = 5^1/2 ;Longrightarrow; x = 5^1/2t =5^12t
Para t1=2,5 vem
x = 5^12cdot2,5 =5^1/5,
e para t2=0,5 vem
x = 5^12cdot0,5 =5^1 =5

Resposta

As soluções são
x = 5^1/5 e x = 5

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