Resolva a equação raiz4 x+5-x=0, em R.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
raiz4x+5 - x = 0
O conteúdo principal é resolução de equações com radicais: vamos precisar determinar o domínio onde a raiz está definida e depois isolar o radical para elevar ao quadrado.

Passo 2

Determinamos o domínio da expressão raiz4x+5. Como o radicando deve ser não negativo, temos
4x+5 >= 0 Longrightarrow x >= -tfrac54
Além disso, para a igualdade raiz4x+5 = x fazer sentido (lado esquerdo é sempre >=0), devemos exigir
x >= 0
Portanto, a solução buscada deve satisfazer
x >= 0

Passo 3

Isolamos o radical na equação original:
raiz4x+5 = x
Agora elevamos os dois lados ao quadrado, lembrando de manter em mente a condição x>=0:
(raiz4x+5)^2 = x^2 Longrightarrow 4x + 5 = x^2

Passo 4

Reescrevemos como uma equação quadrática padrão:
x^2 - 4x - 5 = 0
Para resolver, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
x = 4 pm raiz(-4)^2 - 4cdot1cdot(-5)2cdot1 = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm raiz362 = 4 pm 62
Assim as raízes são
x1 = 4+62 = 5, x2 = 4-62 = -1

Passo 5

Verificamos quais raízes satisfazem x>=0:
x1 = 5 (válido), x2 = -1 (descartado, pois é <0) áé

Resposta

A única solução em R é
x = 5

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