Resolva as equações abaixo, em R :
1raiz3+x+raiz3-x+1raiz3+x-raiz3-x=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a equação envolvendo raízes
1raiz3+x+raiz3-x ;+;1raiz3+x-raiz3-x ;=;2
O conteúdo necessário é analisar o domínio das raízes e manipular a soma de frações com radicais.

Passo 2

Determinamos o domínio da expressão. Para as raízes existem as condições
3+x>=0Longrightarrow x>= -3, 3-x>=0Longrightarrow x<= 3
Além disso, os denominadores não podem ser zero. Note que raiz3+x+raiz3-x>0 para todo xin[-3,3], mas
raiz3+x-raiz3-xneq0 exige raiz3+xneqraiz3-x, ou seja xneq0.
Logo o domínio é
-3<= x<=3, xneq0

Passo 3

Para simplificar o lado esquerdo, chame
A=raiz3+x, B=raiz3-x
Então
1A+B+1A-B =(A-B)+(A+B)(A+B)(A-B) =2AA^2-B^2
Como A^2-B^2=(3+x)-(3-x)=2x, obtemos
1raiz3+x+raiz3-x+1raiz3+x-raiz3-x =2A2x =Ax =raiz3+xx

Passo 4

A equação original fica
raiz3+xx=2
Multiplicando por x (que em domínio não pode ser zero) e elevando ao quadrado,
raiz3+x=2x Longrightarrow 3+x=4x^2 Longrightarrow 4x^2 - x - 3 = 0
Resolvendo a quadrática,
x=1pmraiz1+488 =1pm78 Longrightarrow x=1 ou x=-tfrac34

Passo 5

Verificamos na equação original:
  • Para x=1: o domínio é válido e substituindo obtém-se 2.
  • Para x=-tfrac34: a soma das frações dá -2, não 2.
Portanto x=-tfrac34 é extranho e deve ser rejeitado.

Resposta

A única solução em R é
x=1

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