Resolva os sistemas de equações, em R times R:
lraizx+y+raiz2 x+4 y=4+raiz2 raizx+2 y-raiz2 x+2 y=2 raiz2-2

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema em R^2
raizx+y+raiz2x+4y=4+raiz2, raizx+2y-raiz2x+2y=2raiz2-2,
com restrição de que todos os radicandos sejam não negativos. O conteúdo aqui é a resolução de sistema com raízes, que podemos simplificar definindo novas variáveis para as expressões dentro das raízes.

Passo 2

Definimos
u = raizx+y, v = raizx+2y
Note que
raiz2x+2y = raiz2(x+y) = raiz2,u, raiz2x+4y = raiz2(x+2y) = raiz2,v
Substituindo na equação original, obtemos o sistema linear em u,v:
u + raiz2,v = 4 + raiz2, v - raiz2,u = 2raiz2 - 2

Passo 3

Para resolver o sistema
u + raiz2,v = 4 + raiz2, -,raiz2,u + v = 2raiz2 - 2,
multiplicamos a primeira equação por raiz2:
raiz2,u + 2,v = 4raiz2+2,
e somamos com a segunda:
(raiz2,u + 2v) + (-raiz2,u + v) = (4raiz2+2) + (2raiz2-2) ;Longrightarrow; 3v = 6raiz2 ;Longrightarrow; v = 2raiz2
Substituindo em u + raiz2,v = 4 + raiz2:
u = (4 + raiz2) - raiz2,(2raiz2) = 4 + raiz2 - 4 = raiz2

Passo 4

Verificamos a condição de não negatividade: u=raiz2>=0 e v=2raiz2>=0, consistente com as raízes definidas.

Passo 5

Voltando às variáveis originais,
raizx+y=u=raiz2 ;Longrightarrow; x+y=2,
raizx+2y=v=2raiz2 ;Longrightarrow; x+2y=8
Subtraindo x+y=2 de x+2y=8 vem y=6 e, em seguida, x=2-y=-4.

Passo 6

Por fim checamos todos os radicandos em (x,y)=(-4,6):
x+y=2,; 2x+2y=4,; x+2y=8,; 2x+4y=16,
todos não negativos, logo a solução é válida.

Resposta

(-4,6)

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