Resolva, em R, as equações:
raiz4 x-3 a-raizx+6 a=raizx-3 a

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a equação com parâmetro a:
raiz4x - 3a ;-;raizx + 6a;=;raizx - 3a
O conteúdo principal é análise de domínio de radicais e isolamento seguido de elevações ao quadrado para eliminar as raízes.

Passo 2

Determinamos o domínio impondo os radicandos não negativos:
4x - 3a >= 0, x + 6a >= 0, x - 3a >= 0
Isso equivale a
x >= tfrac3a4, x >= -6a, x >= 3a
Observando essas três condições:
  • Se a>=0, temos tfrac3a4<=3a e -6a<=0<=3a, logo o domínio é
x>=3a
  • Se a<0, então -6a>0 e 3a<0, de modo que o maior dos três limites é -6a, e o domínio é
x>= -6a

Passo 3

Isolamos um radical e elevamos ao quadrado. Da equação original,
raiz4x - 3a = raizx + 6a + raizx - 3a
Ao elevar ao quadrado, obtemos
4x - 3a = (x + 6a) + (x - 3a) + 2raiz(x+6a)(x-3a),
ou seja
4x - 3a = 2x + 3a + 2raiz(x+6a)(x-3a)
Isolando o termo com raiz:
2x - 6a = 2raiz(x+6a)(x-3a) Longrightarrow x - 3a = raiz(x+6a)(x-3a)

Passo 4

Elevamos ao quadrado de novo:
(x - 3a)^2 = (x + 6a)(x - 3a)
Expansão e simplificação dão
x^2 - 6ax + 9a^2 = x^2 + 3ax - 18a^2 Longrightarrow -9ax + 27a^2 = 0 Longrightarrow 9a,x = 27a^2
Dessa igualdade surgem dois casos:
  • Se aneq0, então x = 3a.
  • Se a=0, a equação reduziu-se a raiz4x-raizx=raizx, que é
    ;2raizx-raizx=raizx, verdadeira para todo x>=0.

Passo 5

Verificamos as soluções no domínio:
  • Caso a>0: o domínio exige x>=3a e a solução candidata é x=3a, que satisfaz exatamente x>=3a.
  • Caso a<0: a solução x=3a é negativa e não está no domínio x>=-6a>0. Logo não há solução.
  • Caso a=0: encontramos que qualquer x>=0 satisfaz a equação original.

Resposta

Se a>0, a única solução é x=3a.
Se a=0, todas as x>=0 são soluções.
Se a<0, não há solução.

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