Trabalhando no conjunto dos números reais, resolva a equação raizx-1=a-x, determinando ao mesmo tempo os valores de a para que a equação tenha efetivamente solução. Encontre a fórmula que dá a solução em termos do parâmetro a e explique por que essa fórmula (e não outra) é a solução. Faça os gráficos das funções y=raizx-1 e y=a-x e interprete a solução da equação dada em termos desses gráficos.

Passo 1

Vamos resolver em R a equação
raizx-1 ;=; a - x
O conteúdo aqui envolve domínio da raiz quadrada, análise de monotonicidade de funções e solução de uma equação quadrática após elevar ambos os lados ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio natural da equação:
– Como raizx-1 exige x-1 >= 0, precisamos de
x >= 1
– Além disso, para a igualdade raizx-1=a-x fazer sentido real, a-x deve ser não negativo (raiz não é negativa), ou seja
a - x >= 0 Longrightarrow x <= a
Portanto a solução só pode ocorrer em
1 ;<=; x ;<=; a
Do ponto de vista gráfico, note que y1=raizx-1 é crescente em [1,infty) com y1(1)=0, e y2=a-x é decrescente com y2(1)=a-1. Para ter interseção única basta exigir
y1(1)<= y2(1) Long<=ftrightarrow 0 <= a-1 Longrightarrow a >= 1

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado na faixa em que já garantimos 1<= x<= a:
l(raizx-1r)^2 = (a-x)^2 ;Longrightarrow; x-1 = a^2 - 2ax + x^2
Reorganizando em forma de equação quadrática em x:
x^2 - (2a+1),x + (a^2+1) = 0
O discriminante é
De<a = (2a+1)^2 - 4(a^2+1) = 4a^2 +4a +1 -4a^2 -4 =4a - 3
Para raízes reais, precisamos de De<a>=0, ou seja
4a - 3 >= 0 Longrightarrow a >= tfrac34

Passo 4

As raízes da quadrática são
x = 2a+1 pm raiz4a-32
Mas lembrando que deve valer 1<= x<= a, avaliamos cada sinal:
  • Com o sinal “ +” temos
x+ = 2a+1 + raiz4a-32 ;>;2a+12=a+tfrac12>a,
logo x+ não satisfaz x<= a.
  • Com o sinal “–” temos
x- = 2a+1 - raiz4a-32
Verifica-se que, para a>=1, esta raiz verifica simultaneamente x->=1 e x-<= a. Para tfrac34<= a<1 o valor x- ultrapassa a e, portanto, não entra no domínio válido.

Passo 5

Concluímos que a equação tem exatamente uma solução real se, e somente se,
a >= 1,
e essa solução é
boxed x = 2a+1 - raiz4a-32
Explicação rápida: elevamos ao quadrado para achar raízes candidatas, mas por coerência com o sinal da raiz e o domínio só a expressão com “–” fica entre 1 e a.

Passo 6

Gráficos e interpretação geométrica:
y=raizx-1 parte de (1,0) e cresce suavemente para a direita.
y=a-x é uma reta de declive -1 que em x=1 passa por (1,a-1) e em x=a cruza o eixo x.
Para haver interseção única entre uma curva crescente e uma reta decrescente em [1,infty), é preciso que no ponto x=1 a reta esteja em cima ou tocando a curva, i.e.\ a-1>=0. A interseção desses dois gráficos é exatamente o ponto l(x-,,raizx--1r), com x- dado acima.

Resposta

A equação raizx-1=a-x tem solução real se, e somente se,
a >= 1,
e essa única solução é
x = 2a+1 - raiz4a-32

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