Trabalhando no conjunto dos números reais, resolva a equação
, determinando ao mesmo tempo os valores de a para que a equação tenha efetivamente solução. Encontre a fórmula que dá a solução em termos do parâmetro a e explique por que essa fórmula (e não outra) é a solução. Faça os gráficos das funções
e
e interprete a solução da equação dada em termos desses gráficos.
Passo 1
Vamos resolver em
a equação
O conteúdo aqui envolve domínio da raiz quadrada, análise de monotonicidade de funções e solução de uma equação quadrática após elevar ambos os lados ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, identificamos o domínio natural da equação:
– Como exige
, precisamos de
– Como
– Além disso, para a igualdade
fazer sentido real,
deve ser não negativo (raiz não é negativa), ou seja
Portanto a solução só pode ocorrer em
Do ponto de vista gráfico, note que
é crescente em
com
, e
é decrescente com
. Para ter interseção única basta exigir
Passo 3
Agora elevamos ao quadrado na faixa em que já garantimos
:
Reorganizando em forma de equação quadrática em
:
O discriminante é
Para raízes reais, precisamos de
, ou seja
Passo 4
As raízes da quadrática são
Mas lembrando que deve valer
, avaliamos cada sinal:
- Com o sinal “
” temos
logo
não satisfaz
.
- Com o sinal “–” temos
Verifica-se que, para
, esta raiz verifica simultaneamente
e
. Para
o valor
ultrapassa
e, portanto, não entra no domínio válido.
Passo 5
Concluímos que a equação tem exatamente uma solução real se, e somente se,
e essa solução é
Explicação rápida: elevamos ao quadrado para achar raízes candidatas, mas por coerência com o sinal da raiz e o domínio só a expressão com “–” fica entre
e
.
Passo 6
Gráficos e interpretação geométrica:
– parte de
e cresce suavemente para a direita.
– é uma reta de declive
que em
passa por
e em
cruza o eixo
.
Para haver interseção única entre uma curva crescente e uma reta decrescente em , é preciso que no ponto
a reta esteja em cima ou tocando a curva, i.e.\
. A interseção desses dois gráficos é exatamente o ponto
, com
dado acima.
–
–
Para haver interseção única entre uma curva crescente e uma reta decrescente em
Resposta
A equação
tem solução real se, e somente se,
e essa única solução é