Resolva as equações:
log 13(x^2+13 x)+colog13(x+3)=log 13(3 x-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação envolvendo logaritmos na base tfrac13 e “cologaritmo” também na base tfrac13:
log13l(x^2+13xr) +colog13(x+3) =log13(3x-1)
Aqui vamos usar definição de logaritmo, mudança de base e a noção de cologaritmo, além de cuidar do domínio das expressões.

Passo 2

Por definição, o cologaritmo na base a satisfaz
cologa(y)=log1/a(y)
Como a=tfrac13, temos 1/a=3, então
colog13(x+3)=log3(x+3)

Passo 3

Agora convertemos todos os logaritmos para a base 3. Lembrando que
log13(A) =log3(A)log3(tfrac13) =log3(A)-1 =-log3(A),
a equação passa a ser
-log3l(x^2+13xr) +log3(x+3) =-log3(3x-1)

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por -1 obtemos
log3l(x^2+13xr) -log3(x+3) =log3(3x-1)
Pela propriedade log3(A)-log3(B)=log3!l(tfracABr), isso equivale a
log3!l(x^2+13xx+3r) =log3(3x-1) Longrightarrow x^2+13xx+3=3x-1
Além disso, o domínio exige
x^2+13x>0, x+3>0, 3x-1>0 ;Longrightarrow;x> tfrac13

Passo 5

Resolvendo a equação racional:
x^2+13x=(3x-1)(x+3)=3x^2+8x-3 Longrightarrow 2x^2-5x-3=0
A resolução da quadrática dá
x=5pm74;Longrightarrow;x=3 ou x=-tfrac12
Verificando o domínio x> tfrac13, rejeitamos x=-tfrac12 e ficamos com x=3.

Resposta

3

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