Resolva as equações:
1-log 2 x2-log 2 x-2-log 2 x3-log 2 x=4-log 2 x5-log 2 x-5-log 2 x6-log 2 x

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação envolvendo log2x em expressões racionais. O conteúdo aqui é manipular funções racionais e usar a propriedade de logaritmo. Para isso, vamos trocar a variável para simplificar.

Passo 2

Definimos
t = log2x,
o que transforma o domínio em x>0iff tinR. Além disso, devemos ter tneq 2,3,5,6 para não anular denominadores. A equação vira
1-t2-t - 2-t3-t ;=;4-t5-t - 5-t6-t

Passo 3

Vamos simplificar o lado esquerdo. Colocando em denominação comum:
1-t2-t - 2-t3-t =(1-t)(3-t) - (2-t)^2(2-t)(3-t)
Calculando numerador:
(1-t)(3-t)=t^2-4t+3, (2-t)^2=t^2-4t+4,
logo
(1-t)(3-t)-(2-t)^2=(t^2-4t+3)-(t^2-4t+4)=-1
Portanto
1-t2-t - 2-t3-t =-1(2-t)(3-t)

Passo 4

De modo análogo, o lado direito fica
4-t5-t - 5-t6-t =(4-t)(6-t)-(5-t)^2(5-t)(6-t) =-1(5-t)(6-t)

Passo 5

A equação simplificada é
-1(2-t)(3-t) =-1(5-t)(6-t)
Cancelando o sinal negativo e invertendo, obtemos
(2-t)(3-t)=(5-t)(6-t)
Expandindo:
t^2-5t+6 = t^2-11t+30 ;Longrightarrow;6t-24=0 ;Longrightarrow;t=4
Esse valor não anula os denominadores, logo é válido.

Passo 6

Voltando à variável original:
t=4Longrightarrowlog2x=4 Longrightarrow x=2^4=16

Resposta

16

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