Resolva as equações:
log x^2(x+1)=2+log x(x+1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
l(logx(x+1)r)^2 ;=; 2 ;+;logx(x+1)
O conteúdo é manipulação de logaritmos e resolução de equações quadráticas. Primeiro, vamos identificar o domínio: precisamos de x>0, xneq1 e x+1>0 (mas esta última já vem de x>0).

Passo 2

Fazemos a substituição
t = logx(x+1),
de modo que a equação vire
t^2 = 2 + t

Passo 3

Resolvendo a quadrática em t:
t^2 - t - 2 = 0 Longrightarrow t = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
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t = 2 ou t = -1

Passo 4

Caso t=2, temos
logx(x+1) = 2 Longrightarrow x^2 = x + 1 Longrightarrow x^2 - x - 1 = 0
As raízes são
x = 1 pm raiz52
Destas, x = tfrac1+raiz52>1 satisfaz x>0, xneq1; a outra é negativa e descartada.

Passo 5

Caso t=-1, temos
logx(x+1) = -1 Longrightarrow x^-1 = x + 1 Longrightarrow 1 = x(x+1) Longrightarrow x^2 + x - 1 = 0
As raízes são
x = -1 pm raiz52
A única positiva é x = tfrac-1+raiz52, que também satisfaz 0<x<1 e xneq1.

Resposta

As soluções da equação são
x = 1+raiz52 e x = raiz5-12

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